1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.
Пример 1. Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
, (4)
где
- непрерывная на некотором интервале
функция.
Из теории неопределенного интеграла следует, что любое решение этого дифференциального уравнения может быть записано следующим образом:
,
где справа в качестве первого слагаемого стоит неопределенный интеграл от
, т. е. некоторая первообразная функция от
на
:

а в качестве второго слагаемого - произвольная постоянная
.
Итак, любое решение дифференциального уравнения (4) определяется равенством
, (5)
где
_ некоторая первообразная от
на
, а
произвольная постоянная - параметр семейства решений.
Каждому значению параметра
соответствует отдельное (частное) решение дифференциального уравнения (4), и при этом любое решение этого уравнения может быть получено как частное решение семейства (5) при соответствующем значении
.
Если равенство (5) продифференцировать по
, то получим исходное дифференциальное уравнение (4). Благодаря этому свойству равенство (5), содержащее в себе произвольную постоянную
, называют общим интегралом дифференциального уравнения (4). Задача Коши для дифференциального уравнения (4) решается и притом единственным образом при начальном условии
, где
— любая точка из полосы
плоскости
. Чтобы решить ее, подставляем в общий интеграл (5) точку
и находим постоянную
:
.
Отсюда получаем

Это и есть решение (интегральная кривая) нашего дифференциального уравнения (4), проходящее через точку
(рис.1).

Рис.1
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
, (6)
где
- заданная постоянная. Легко проверить, что функция
(7)
при любом значении параметра
есть решение дифференциального уравнения (6). Мы не будем сейчас объяснять, как к этому семейству решений, зависящему от произвольной постоянной
, можно логически прийти (см. далее § 1.3).
Продифференцируем равенство (7) по
:
. (8)
Теперь исключим параметр
из обоих равенств (7) и (8), т. е. найдем
из одного из них и подставим в другое. Получим, очевидно, опять исходное дифференциальное уравнение (6).
В силу этого свойства равенство (7) называют общим интегралом дифференциального уравнения (6).