§ 2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра
Рассмотрим несобственный интеграл
, (1)
зависящий от параметра
. Будем считать, что интеграл имеет единственную особенность в точке
.
Точнее, мы рассматриваем область
точек
-мерного пространства, по которой происходит интегрирование и область
точек
- область параметров. Так как мы интегрируем по
, а в дальнейшем будем интегрировать и по
, то будем считать, что обе области
и
ограничены и имеют кусочно-гладкую границу. Что же касается функции
, то предполагается, что она непрерывна на
, за исключением точек
, где она имеет особенность.
На
в окрестности каждой точки
функция
, вообще говоря, неограниченна.
Мы предполагаем, что несобственный интеграл (1) существует для всех
. Это значит, что для каждого
существует конечный предел
, (2)
где
(3)
и
есть множество точек
, из которого выкинут шар радиуса
с центром в точке
.
Важно отметить, что интеграл (3) - это обыкновенный интеграл Римана (собственный), и так как функция
непрерывна на
при любом
, то для него выполняются известные свойства:
1)
непрерывная функция от
.
2) Законно менять местами порядок интегрирования
. (4)
3) Законно дифференцировать под знаком интеграла
(5)
при дополнительном условии, что частная производная
непрерывна на
.
Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) - 3) при
, т. е. сохраняются ли они для собственного интеграла (1). Это, вообще говоря, не так. Однако, если на сходимость
к
и
к
наложить дополнительное условие равномерной сходимости, то свойства 1) - 3) сохраняются. В связи с этим полезно понятие равномерной сходимости интеграла.
По определению интеграл (1) сходится равномерно на
(или по
), если
,
т.е.

равномерно на
.
Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно на
, если выполняется условие: для любого
существует
такое, что

К равномерно сходящимся интегралам можно применить теорию равномерно сходящихся последовательностей функций, связанную с теорией равномерно сходящихся рядов.
Мы знаем, что если последовательность функций
, непрерывных на множестве
, сходится равномерно на
, то предельная функция
непрерывна на
, и тогда
. (6)
Мы знаем также, что если дополнительно считать, что частные производные
существуют и непрерывны на
и, кроме того,
,
равномерно на
, то функция
имеет производную
, равную
:
.
При доказательстве этих свойств не имеет значения тот факт, что
, возрастая, пробегает натуральные числа. Можно считать также, что
стремится непрерывно к нулю
. Поэтому указанные свойства автоматически переносятся на равномерно сходящиеся несобственные интегралы.
Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходится на
и функция
непрерывна на
, за исключением точек
то интеграл (1) есть непрерывная функция от
. При этом
.
В самом деле, из непрерывности
, и равномерной сходимости
, на
следует, что
непрерывна на
. Далее,

В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве) формулой
,
верной, потому что
и
непрерывны на
и
равномерно на
, и (в четвертом равенстве) формулой (4).
Теорема 2. Если, кроме того, что выполняются условия теоремы 1, известно, что частная производная
непрерывна на
, за исключением точек
, и интеграл

равномерно сходится на
, то имеет место равенство
, (7)
т. е. законно дифференцировать под знаком интеграла.
В самом деле,

Во втором равенстве этой цепи применено свойство: если функция
и
непрерывны на
и обе при
равномерно сходятся на
соответственно к
и
, то
на
. В четвертом равенстве применено свойство (5), верное для любого
.
Следующая теорема дает достаточный признак равномерной сходимости несобственного интеграла (1).
Теорема 3 (признак Вейерштрасса). Если, функция
непрерывна на
, за исключением точек
, и удовлетворяет на
неравенству
, (8)
где интеграл
(8')
сходится, то интеграл (1) равномерно сходится на
.
Доказательство. Зададим
. В силу сходимости интеграла (8') найдется
такое, что для всех
, удовлетворяющих неравенству 
.
Во втором неравенстве мы воспользовались условием (8). Таким образом
так, что для всех
, удовлетворяющих неравенству 
.
А это значит, что интеграл (1) сходится равномерно на
.
Пример 1. Интеграл
(9)
существует для любых
. При
точка
особая, а при
на отрезке
подынтегральная функция непрерывна и интеграл никаких особенностей не имеет.
Для выяснения вопроса о равномерной сходимости несобственного интеграла мы должны оценить интеграл
,
который принято называть остатком интеграла, соответствующего особой точке
. Для произвольного
невозможно подобрать
так, чтобы остаток был меньшим
, потому что при любом фиксированном 
.
Поэтому интеграл (9) сходится неравномерно относительно
.
Отметим, что функция
непрерывна на
.
Далее очевидно, что для
интеграл (9) сходится равномерно. В самом деле, если
, то на отрезке
, где
, а интеграл
;
поэтому по признаку Вейерштрасса интеграл (9) равномерно сходится для
.
Итак, интеграл (9) есть непрерывная функция на
, следовательно на
, так как
произвольно.
Если
, то интеграл (9) можно дифференцировать под знаком интеграла, т. е.
. (10)
В самом деле, так как
, то функция

непрерывна на
и, следовательно, ограничена на
. Поэтому для 

и интеграл
.
Отсюда по признаку Вейерштрасса интеграл справа в (10) равномерно сходится. Далее функция
непрерывна на
, за исключением точек с
, поэтому, согласно теореме 2, формула (10) верна.
Интеграл (1) можно рассматривать для неограниченной области
считая, что функция
непрерывна на множестве
точек
. Так как область
неограниченна, интеграл (1) как риманов не существует, но он может существовать в несобственном смысле, как предел
, (11)
где
- шар с центром в нулевой точке радиуса
.
Мы считаем, что

и что существует предел

для всех
, т. е. считаем, что интеграл (11) как несобственный существует для всех
.
В данном случае говорят, что особой точкой интеграла (11) является бесконечно удаленная точка.
По определению интеграл (11) называется равномерно сходящимся, если
, равномерно относительно
.
Так же как в случае конечной особой точки, доказывается, что для непрерывной на
функции
интеграл (11), если он равномерно сходится на
, есть непрерывная функция от
. Далее, если
— ограниченная область с кусочно-гладкой границей, то имеет также место равенство
.
Если
непрерывна на
и интеграл по
от
равномерно сходится по
, то (11) можно дифференцировать под знаком интеграла
.
Пример 2. Исследовать интеграл
.
Очевидно, что
, а при 
.
Таким образом, функция
разрывна на
. Это связано с тем, что наш интеграл сходится неравномерно: остаток интеграла

не стремится к нулю при любом фиксированном
и
(он стремится к 1).
Пример 3. Гамма-функция. Интеграл
(12)
называется гамма-функцией или эйлеровым интегралом второго рода.
При
он имеет особую точку
, а при
он имеет две особые точки
.
При исследовании этого интеграла удобно разложить его на два интеграла
.
Так как для
имеем
то (как это видно из примера 1) первый интеграл равномерно сходится для всех
, каково бы ни было число
. Второй интеграл, очевидно, сходится для всякого действительного
.
Если
- любое число, то для 
,
и так как
,
то по признаку Вейерштрасса второй интеграл равномерно сходится
. Однако сходимость этого интеграла при любом
не является равномерной. Например, при
и 

при
и любом фиксированном
.
При 
.
Поэтому при
натуральном
,
откуда видно, что гамма-функцию естественно рассматривать как обобщение факториала.