ГЛАВА 3 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая
Кривая
(1)
называется непрерывной кусочно-гладкой, если функции
непрерывны на
и отрезок
можно разбить на конечное число частичных отрезков точками

так, что на каждом из них функции
имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю.
На рис. 64 изображена непрерывная кусочно-гладкая кривая. В точках
и
она непрерывна, но производные
все или некоторые терпят разрыв (первого рода!).

Рис.64
Кривую (1) будем обозначать одной буквой, например буквой
. Обычно
обозначает не только геометрическое место точек
, определяемых уравнением (1), но и порядок следования этих точек, когда
непрерывно возрастает от
до
. В этом смысле говорят, что
есть ориентированная кривая. Порядок следования обозначают на рисунке стрелкой (рис. 64) - когда
непрерывно возрастает от
до
, точка
движется по
в направлении стрелки.
Если
есть функция, имеющая непрерывную положительную производную на некотором отрезке
и при этом
, то уравнение
(1')
определяет ту же ориентированную кривую, что и
. Ее обозначают той же буквой
, только говорят в случае уравнения (1), что
определяется параметром
, а в случае (1') - параметром
. В обоих случаях при возрастании
от
до
или возрастании
от
до
соответствующие точки
движутся в одном и том же направлении.
Другое дело, если совершить замену
, где
имеет непрерывную отрицательную производную на отрезке
. В этом случае
, и при непрерывном возрастании
от
до
параметр
будет убывать и стрелку на нашем геометрическом объекте придется направить в другую сторону.
Поэтому кривую (1') в случае, когда
, мы будем обозначать другим символом
и говорить, что
есть та же кривая, кто и
, но ориентированная в противоположную сторону. Иногда исходную ориентированную кривую мы будем обозначать символом
.
Ориентированная кривая (1) называется замкнутой или замкнутым контуром, если
или, что все равно, если

Иначе говоря; когда значение параметра
непрерывно возрастает от
до
, соответствующая точка
проходит в пространстве непрерывный путь, начинающийся и кончающийся в одной и той же точке. Если при этом кривая
в других точках сама себя не пересекает, то она называется замкнутой самонепересекающейся кривой. На рис. 65,а изображена замкнутая самонепересекающаяся кривая, а на рис. 65,б - замкнутая самопересекающаяся кривая.

Рис.65
Замечание. Векторное уравнение (1) кривой
эквивалентно трем уравнениям
.
Пример 1. Пусть кривая
задана уравнением

Так как
, то данная кривая есть окружность радиуса
с центром в начале координат. При возрастании
от 0 до
точка
движется по окружности против часовой стрелки. При этом разным
соответствуют разные точки
. При
и
имеем
. Значит, окружность является замкнутой самонепересекающейся кривой (рис. 66).

Рис. 66 Рис. 67
Пример 2. Кривая
,
где
- положительные числа, называется винтовой линией. Ее можно получить следующим образом. Отрезок длины
, перпендикулярный оси
, одним концом скользит по оси
и одновременно поворачивается около оси
, тогда другой конец отрезка описывает винтовую линию. Мы считаем, что высота подъема отрезка по оси
пропорциональна углу поворота
. При возрастании
точка
движется, как указано на рис. 67. Очевидно, что винтовая линия расположена на боковой поверхности кругового цилиндра радиуса
, с образующей, параллельной оси
.