3.3.3. Свойства криволинейных интегралов второго рода.Если ориентированная кривая На рис. 71 изображена ориентированная кривая На рис. 72 изображены два ориентированных замкнутых контура По определению считается, что
Справедливо свойство: если
Из механических соображений это свойство очевидно. Работы одной и той же силы Рис.71 Рис. 72 Докажем все же это свойство формально. Это имеет смысл, чтобы яснее представить себе различие интегралов второго и первого рода. Ведь интеграл первого рода, как мы знаем, не меняет знака при перемене ориентации Пусть
где скаляр
Правая часть этого равенства есть интеграл первого рода от функции
Рис. 73 В первом равенстве этой цепи мы заменили в интеграле первого рода
Пример 2. Вычислить интеграл второго рода (рис. 73) вдоль прямолинейного отрезка, идущего из точки В первом случае имеем
Во втором случае
Пример 3. Вычислить интеграл второго рода вдоль тех же кривых, что и в примере 1. Имеем
Далее, при
Эти примеры показывают, что интеграл второго рода, вообще говоря, зависит от кривой, по которой он вычисляется, или, как еще говорят, он зависит от пути интегрирования. Во втором примере мы получили одно и то же значение по разным путям интегрирования. Оказывается, это не случайно. Причину последнего свойства мы выясним в дальнейшем.
|