3.3.2. Криволинейный интеграл от вектора вдоль кривой.

Пусть в пространстве , где определена прямоугольная система координат , задана ориентированная непрерывная кусочно-гладкая кривая  с начальной точкой  и конечной . Если  замкнута, то  совпадает с . Пусть

 - уравнения  и значению  соответствует точка , а  - точка .

В каждой внутренней (не угловой) точке  любого гладкого куска  однозначно определен единичный вектор  касательной к , направленный в сторону возрастания .

Пусть на  или на множестве , содержащем , задано поле непрерывного вектора (задан вектор)

,

где, таким образом  - непрерывные функции на  (или ).

Лучше всего представить себе эту картину так (рис. 69): из любой точки  (или ) выпущен вектор , направление и длина которого зависят от этой точки .

Будем считать, что вектор  - сила, и надо найти работу этой силы вдоль ориентированного пути .

Пусть  - значение параметра, которому соответствует точка  кривой . Значению же  соответствует точка . Вектор  приближенно равен вектору

,

направленному по касательной к  в сторону возрастания  (рис.70).

Рис. 69                                                                                    Рис. 70

Элементарная работа силы  при изменении параметра от  до  с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна скалярному произведению векторов  и :

Чтобы получить полную работу вдоль всего ориентированного пути , надо проинтегрировать это выражение по  на отрезке .

В результате получим

Левая часть этого равенства называется криволинейным интегралом вдоль ориентированного пути  от вектора  или, короче, интегралом от вектора  вдоль кривой .

Правая часть (3) представляет собой обычный интеграл от указанной там функции по  в пределах .

Левая часть есть обозначение нового понятия - интеграла от вектора  по , а правая - есть его определение.

Отметим, что функции  непрерывны по , функции  непрерывны по  на отрезке , функции же  непрерывны для всех значений , за исключением конечного числа точек

,

где они, быть может, имеют разрывы первого рода.

Но тогда подынтегральная функция от  в правой части (3) непрерывна на каждом из отрезков  в отдельности и интеграл  от этой функции существует, поэтому существует интеграл

.

Криволинейный интеграл (3) записывают еще следующим образом:

.                       (4)

Чтобы вычислить его, надо подставить в него соответственно

и полученное выражение проинтегрировать от  до .

Как левая, так и правая часть равенства (4) называется еще криволинейным интегралом второго рода.