§3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой
3.3.1. Поле вектора.
Пусть
есть область пространства
, где задана прямоугольная система координат
и из каждой точки
выпущен вектор
, зависящий, вообще говоря, от этой точки. Тогда
(1)
или более кратко
(1')
где
- функции от
, определенные на области
.
Говорят, что равенство (1) определяет поле вектора
на области
.
Если
- непрерывные функции на
, то и вектор
есть непрерывная вектор-функция на
.
Соответственно, если
имеют непрерывные частные производные, то и про вектор
говорят, что он имеет это свойство.
Пример 1. Пусть в начале координат
сконцентрирована масса
. Тогда в области
представляющей собой пространство
без точки
, возникает поле силы тяготения. Физически его можно обнаружить, если поместить в произвольной точке
(отличной от начала координат
) массу
. Тогда масса
будет притягиваться к массе
с силой
, скалярная величина которой равна
, (2)
где
- некоторая постоянная, а
- расстояние от точки
до
. Если считать, что
, то
.

Рис.68
Так как вектор
направлен от точки
к точке
(рис. 68), то его компоненты на оси координат
соответственно равны

(вектор
и направленный отрезок
образуют с осями координат
углы, косинусы которых соответственно равны
).
В связи с полем вектора тяготения можно рассматривать функцию
.
Легко проверить, что ее частные производные по переменным
соответственно равны компонентам вектора
:
.
Благодаря этому свойству функция и называется потенциальной функцией для вектора
.