3.4.2. Доказательство свойств потенциала.
Прежде всего докажем эквивалентность свойств 1) и 2).
Пусть справедливо свойство 1). Зададим в
две точки
и
(рис. 74). Соединим их двумя различными ориентированными от
до
кривыми
и
, принадлежащими
. В силу 1)
,
поэтому
,
и мы доказали свойство 2).

Рис. 74 Рис.75
Обратно, пусть верно свойство 2). Зададим произвольный ориентированный замкнутый контур
(рис. 75).
Разрежем его в точках
и
соответственно на две ориентированные кривые

По свойству 2)
,
откуда
,
и мы доказали 1).
Пусть теперь известно, что поле вектора
имеет в области
потенциальную функцию
.
Зададим на
точку
и переменную точку
. Соединим
с
ориентированной от
до
непрерывной кусочно-гладкой кривой
определенной уравнениями
.
Таким образом, значениям
параметра
соответствуют точки
.
Если подставить в
вместо
соответственно функции
то
будет непрерывной кусочно-гладкой функцией от
. На основании теоремы о производной сложной функции в точках гладкости
(где
имеет касательную)
.
Отсюда следует, что
(2)
т. е. криволинейный интеграл второго рода при фиксированной точке
зависит только от положения точки
от пути, по которому она достигается из точки
. Этим доказано свойство (2) и равенство (1), если известно, что вектор
имеет в области
потенциальную функцию
.

Рис. 76
Нам остается доказать, что из свойства 2) следует, что существует определенная на
потенциальная функция
, градиент которой на
равен
. В самом деле, зададим фиксированную точку
(рис. 76). Пусть известно, что 2), т. е. данное поле вектора
таково, что криволинейный интеграл по любой непрерывной кусочно-гладкой кривой, соединяющей
с произвольной точкой
, не зависит от этой кривой, а зависит только от точки
. Таким образом, существует определенная на
функция
такая, что
.
Чтобы доказать, что
в точке
, будем рассуждать следующим образом. Точку
соединим с
специальной кривой
(см. рис. 76), которая заканчивается некоторым отрезком
, параллельным оси
. Этот отрезок мы продолжим до некоторой точки
. Таким образом, переменная точка
отрезка
имеет постоянные координаты
и
и только одну переменную координату
. Кривую
представим в виде суммы кривых
,
и тогда
, (3)
где
- постоянная, не изменяющаяся при движении точки
по отрезку
, а
. Надо учесть, что уравнения отрезка
можно записать в параметрическом виде (через параметр
)
, откуда следует, что

Итак, мы получили равенство (3), верное, какова бы ни была точка
отрезка
. Здесь
фиксированы, а
может изменяться. Так как под интегралом по
в правой части (3) стоит непрерывная функция от
, то
.
Аналогично можно доказать, что
,
вводя специальные кривые
, оканчивающиеся отрезком, параллельным оси
в одно случае и параллельном оси
в другом.
Пример 2. Вычислим работу, которую совершает сила
, определенная в примере 1, вдоль пути, соединяющего точки
и
.
Сила
имеет потенциальную функцию

на области
, представляющей собой пространство без нулевой точки. Поэтому криволинейный интеграл не зависит от пути.
В силу формулы (1) интеграл от вектора
вдоль любого (кусочно-гладкого) пути
, соединяющего точки
и
, равен
.
Итак, искомая работа вектора
равна
.