3.4.3. Ротор вектора.
Возникает вопрос, как узнать, имеет ли вектор
потенциальную функцию на данной области
. Для этого введем некоторые новые понятия.
Введем символический вектор
. Его называют оператором Гамильтона.
Ротором вектора
называется вектор
.
Таким образом, можно сказать, что ротор вектора
равен векторному произведению символического вектора (оператора Гамильтона) на вектор
.
Следующие две теоремы дают ответ на поставленный выше вопрос.
Теорема 2. Если вектор
имеет на
потенциальную функцию
, имеющую вторые непрерывные частные производные, то
.
В самом деле, по условию теоремы
.
Поэтому

на
, что и требовалось доказать.
Обратное утверждение тоже верно, но, вообще говоря, для односвязных областей.
Область
называется односвязной, если любую, принадлежащую к ней замкнутую кусочно-гладкую кривую
можно стянуть в точку, принадлежащую
. При этом в процессе стягивания
все время должна принадлежать к
.
В этом определении достаточно считать, что кривые
самонепересекающиеся. Такие кривые являются границами соответствующих односвязных областей
.
Примерами односвязных областей могут служить все пространство или шар без его границы (сферической поверхности).
С другой стороны, все пространство (трехмерное!), из которого выкинута прямая, есть пример неодносвязной области.
Теорема 3. Если область
односвязная и на ней задан вектор
с непрерывно дифференцируемыми компонентами, для которого
,
то вектор
имеет на
потенциальную функцию (потенциал).
В трехмерном случае теорема 3 следует из формулы Стокса, которая будет доказана в § 3.15; в двумерном (плоском) случае она следует из формулы Грина, которая будет доказана в § 3.7.
В плоском случае мы рассматриваем поле вектора
,
где
и
- непрерывные функции на области
плоскости.
Функция
называется потенциальной для вектора
на
, если
.
Изложенные выше факты верны и для плоскости. Надо только всюду опустить
и считать, что
.
В плоском случае определение односвязной области сохраняется. Обратим внимание, что плоскость (двумерное пространство), из которой выкинута точка, не есть односвязная область.
Пример 3. Вектор
с компонентами

имеет непрерывные частные производные на области
, представляющей собой плоскость с выкинутой нулевой точкой.
Если записать вектор
в виде
,
то отсюда видно, что
.
Легко проверить, что в данном случае
на
.
Область
(плоскости!) не односвязна. Она не удовлетворяет условию теоремы 3, и сама теорема, как мы увидим, для нее неверна.
В самом деле, кривая
(окружность)
,
очевидно, замкнута и принадлежит к
. Криволинейный интеграл от вектора
вдоль
равен
.
Мы видим, что нашлась замкнутая кривая
, вдоль которой интеграл от
не равен нулю.
Это показывает на основании теоремы 1, что на
не существует потенциальной функции для рассматриваемого здесь вектора
,
С другой стороны, если из плоскости
выкинуть отрицательную полуось
или, как говорят, произвести разрез плоскости по отрицательной полуоси
, то оставшееся множество, которое мы обозначим через
(рис. 77), будет односвязным, и так как на
, то на основании теоремы 3 на
уже существует потенциальная функция вектора
. Эту функцию можно записать следующим образом:
,
где
, - ориентированная кривая, соединяющая некоторую начальную фиксированную точку
, например
, и переменную точку
, (см. рис. 77).
Заметим, что кривая
не должна пересекать отрицательную полуось
.

Рис. 77