§3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
Надо решить дифференциальное уравнение
. (1)
на области
плоскости
, где функции
и
непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию

т. е. условию

для вектора
.
Но тогда в силу теоремы 3, § 3.4, если область
односвязна, то вектор
имеет на
потенциальную функцию
:
.
Можно сказать, что существует на
функция
дважды дифференцируемая такая, что ее полный дифференциал есть левая часть уравнения (1). Поэтому это уравнение называют уравнением в полных дифференциалах.
Приравнивая функцию
произвольной постоянной, получим общий интеграл (см. с. 17) данного дифференциального уравнения (1)
.
Функцию
, обращающуюся в нуль в заданной точке
, можно получить, вычислив интеграл от вектора
по какой-либо непрерывной кусочно-гладкой кривой
, соединяющей точку
с переменной точкой
.
Особенно простые вычисления получим, когда
есть прямоугольник (см. рис. 78):
.
Достичь точки
из точки
можно путем
, и тогда придется проделать следующие вычисления:

Рис. 78
.
потому что
.
В данном случае
легко видеть, что
есть потенциальная функция для вектора
:

Пример. Решить дифференциальное уравнение
, (7)
где
- действительные числа, в области
точек
, имеющих положительные координаты
. Здесь

т.е.
на
,
где
- односвязная область. Поэтому

и, следовательно, по теореме 3 § 3.4 существует функция
, полным дифференциалом которой является левая часть (7). Эту функцию можно получить по формуле (5):

Таким образом, общее решение уравнения (7) в
есть функция
, удовлетворяющая уравнению
,
где
- произвольная константа. При
общее решение находится из уравнения
.