§3.6. Ориентация плоской области

На рис. 79 и 80 в плоскости изображены две различные прямоугольные системы координат. Различие этих систем заключается в том, что невозможно, передвигая их в плоскости, совместить их так, чтобы совпали одновременно их положительные оси  и положительные оси .

Рис. 79                                                 Рис.80

Система на рис. 79 характерна тем, что поворот на  положительного луча  около начала координат против стрелки приводит к совмещению его с положительным лучом .

Система же на рис. 80 характерна тем, что поворот на  положительного луча  около начала приводит к совмещению его с положительным лучом , только если этот поворот совершается по часовой стрелке.

Будем называть простым контуром замкнутую самонепересекающуюся непрерывную кусочно-гладкую ориентированную кривую .

Рассмотрим в плоскости ограниченную область , граница которой  состоит из конечного числа не пересекающихся попарно простых контуров:

.

Если , т. е. если граница  есть один простой контур , то область  называется односвязной. Например, область  на рис. 79 и 80 односвязна.

Рис. 81                                                Рис.82

Если как это имеет место на рис. 81 и 82 область  называется двусвязной. При произвольном  область  называется -связной. Область  на рис. 83 трехсвязна.

В случае системы координат, изображенной на рис. 79 (или рис. 81, или рис. 83), область , так же как ее граница  называется ориентированной положительно или отрицательно в зависимости от того, остается ли  слева или справа при движении по  в направлении стрелки.

Рис. 83

Соответственно в случае системы координат на рис. 80 (или рис. 82) область , так же как ее граница , называется ориентированной положительно или отрицательно в зависимости от того, остается ли  справа или слева при движении по  в направлении стрелки.

Например, области  на рис. 79-82 ориентированы положительно, а область  на рис. 83 ориентирована отрицательно.

Если  ориентирована положительно, то _ обозначает ту же область, ориентированную отрицательно.

Полезно следующее соглашение. Пусть  - область в плоскости  - область , ориентированная положительно, и  - область , ориентированная отрицательно. Тогда по определению

где справа стоят обычные двойные интегралы по  от .