§3.7. Формула Грина
Для достаточно общих плоских областей
с положительно ориентированной границей
справедлива формула
, (1)
называется формулой Грина. Здесь предполагается, что
непрерывны на замыкании
области
.
Начнем с того, что рассмотрим плоскую область
, изображенную на рис.84, которую мы будем называть элементарной
-областью. Снизу и сверху
ограничена кусочно-гладкими кривыми, имеющими соответственно уравнения


Рис. 84
С боков
ограничена отрезками прямых параллельных оси ординат. Отметим, что эти отрезки могут вырождаться в точку.
Граница
области
состоит из четырех частей:
.
Для такой области
имеют равенства (пояснения ниже, ориентировано положительно)

Поясним последнее равенство. Кривая
имеет параметрические уравнения (с параметром
)
.
При этом значению
соответствует точка
, а значению
- точка
. Кривая
определяется уравнениями
.
Значению
соответствует точка
и значению
- точка
. Наконец, отрезок
имеет уравнения
(с параметром
). Вдоль этого отрезка
, поэтому на самом деле
.
Аналогично интеграл по отрезку
равен нулю:
.
Итак, мы определили, что
. (2)
Эта формула распространяется на любую область
, которую можно разрезать на конечное число элементарных
-областей. Такую область будем называть просто
-областью.
В самом деле, пусть
, где
- элементарные
-области с границей
, которые будем считать ориентированными положительно (рис.85). Тогда (пояснения ниже)
. (3)
Пояснения требует третье равенство.
Здесь важно отметить, что, если два контура
, и
имеют общий кусок
, то он как часть
и как часть
ориентирован противоположно, и потому криволинейные интегралы от
по
в обоих случаях отличаются лишь знаком
их сумма равна нулю. Если учесть это, то сумма
в цепи (3) сведется к сумме криволинейных интегралов по кускам
, принадлежащим к
, равной интегралу по контуру
.

Рис. 85 Рис.86
По аналогии можно ввести понятие элементарной
-области. В этом случае
ограничена слева и справа кусочно-гладкими кривыми (рис. 86)
.
Сверху и снизу
ограничена отрезками прямых параллельных оси
.
Можно также сказать, что элементарная
-область определяется так же, как элементарная
-область, только роль
теперь играет
.
Для элементарной
-области
получаем (пояснения ниже)
(4)
так как
на отрезках
и
, то и
.
Формула (4) также распространяется на любую область
, которую можно разрезать на конечное число элементарных
-областей. Такую область будем называть просто
-областью.
Итак, мы доказали предложение:
Теорема 1. Если область
является одновременно
- и
-областью, то для нее имеет место формула Грина.
Для доказательства достаточно вычесть из равенства (4) равенство (3), которые справедливы для области
, обладающей указанными свойствами.
Примерами областей, одновременно являющихся
- и
-областями, могут служить область

и эллипс
.
Более того, эти области являются элементарными
- и
-областями.
Замечание 1. Можно доказать более общее утверждение. Если область
ограничена произвольным замкнутым кусочно-гладким самонепересекающимся контуром
, то для нее верна формула Грина (1).
Следствие. Если плоская область
односвязна и на ней задан непрерывно дифференцируемый вектор
,
для которого
,
то
имеет на
потенциал (т. е. имеет место в плоском случае теорема 3 § 3.4).
В самом деле, зададим произвольный самонепересекающийся непрерывный кусочно-гладкий контур
, ориентированный положительно (рис. 87).
Он служит границей некоторой области
. Согласно теореме (формуле) Грина (см. замечание 1)
,

Рис. 87
и так как
- произвольный замкнутый самонепересекающийся контур, то на основании теоремы 1 § 3.4 вектор
имеет потенциал на
.
Замечание 2. Так как двойной интеграл от единичной функции по области
равен площади (мере) области
, то, выбирая функции
и
так, чтобы
, мы получим различные выражения площади области
через криволинейный интеграл:
.
В частности, при
получаем
. (5)
Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
.
Согласно формуле (5) имеем
.