§ 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского
Пусть
есть трехмерное пространство, где задана прямоугольная система координат
и
- область с кусочно-гладкой границей
, на которой определено поле вектора
. (1)
Будем предполагать, что
непрерывны на
, откуда следует, что для вектора
имеет смысл непрерывная функция
, (2)
называемая дивергенцией вектора
.
Легко видеть, что
,
т. е. дивергенция равна скалярному произведению символического вектора
(оператора Гамильтона) (см. § 3.4) и вектора
.
Будем считать, что поверхность
ориентирована при помощи единичной нормали
, направленной во внешность
.
Целью нашей будет доказать равенство
(3)
при некоторых дополнительных условиях, налагаемых на
. Это равенство называют формулой Гаусса-Остроградского по имени математиков, ее доказавших.
Формула Гаусса-Остроградского говорит, что объемный (тройной) интеграл от дивергенции вектора по области
равен потоку вектора через границу этой области, ориентированную в направлении ее внешней нормали.

Рис. 103
Начнем с того, что рассмотрим область
, изображенную на рис. 103, которую мы будем называть элементарной
-областью. Снизу и сверху
ограничена поверхностями
и
с кусочно-гладкими краями, определяемыми соответственно уравнениями
,
где
- плоская область с кусочно-гладкой границей
, а
непрерывны на
и имеют непрерывные частные производные на открытом множестве
. С боков
ограничена цилиндрической поверхностью
с направляющей
и образующей параллельной оси
.
Пусть
есть граница
, ориентированная при помощи внешней к
нормали (пояснения ниже). Тем самым нижний и верхний куски
, так же как боковая поверхность
области
, соответственно ориентированы. Для области
имеют место равенства (пояснения ниже)
(4)
Нормаль
к
образует с осью
соответственно тупой и острый углы, поэтому проекции
, кусков
на плоскость
ориентированы первая отрицательно, а вторая положительно. Это обосновывает переход от третьего члена цепи (4) к четвертому. К сумме, составляющей четвертый член, можно формально добавить интеграл
,
потому что
вдоль
. Но тогда полученная сумма трех интегралов равна интегралу, стоящему в качестве последнего члена цепи (4) (потоку вектора
через
).
Этим мы доказали теорему Гаусса-Остроградского для элементарной
-области и вектора
.
Назовем теперь область
-областью, если ее замыкание
можно разрезать на конечное число элементарных
-областей

так, что нижние и верхние куски границы
суть части ориентированной границы
области
, и докажем, что для
и вектора
тоже справедлива теорема Гаусса-Остроградского.
В самом деле, обозначим соответственно через
нижние и верхние куски границ
, и через
- боковые куски
. Тогда (пояснения ниже)

потому что интегралы по
, очевидно, равны нулю, а куски
и
, составляют в совокупности поверхность
, либо только часть
, а остальная часть
с
имеет нормаль в любой ее точке перпендикулярную к оси
. Но тогда интеграл по
равен нулю.
По аналогии можно ввести понятия
-области и
-области. Например,
-область обладает тем свойством, что ее замыкание можно разрезать на конечное число замыканий элементарных
-областей. Элементарная же
-область определяется так же, как элементарная
-область, только роль
теперь играет
. По аналогии доказывается, что для
-области
имеет место равенство
,
т. е. формула Гаусса—Остроградского для вектора
, а для
-области
- формула
.
Если теперь
есть одновременно
и
- область, то для нее, очевидно, верна теорема Гаусса-Остроградского для произвольного непрерывно дифференцируемого на
вектора
, т. е. верно равенство
, (5)
где интеграл справа есть интеграл по поверхности
, ориентированной внешней нормалью к
.
Если в формуле Гаусса—Остроградского положить
, то получим выражение для объема области 

через интеграл по ее ориентированной внешней нормалью границе
.
Области, с которыми приходится обычно иметь дело, являются одновременно
- областями.
Пример 1. Шар
есть
-область, даже элементарная
-область, потому что вся его внутренность ограничена двумя лежащими друг над другом гладкими на круге
поверхностями
,
непрерывными на замкнутом круге
, имеющем гладкую границу. Очевидно, шар есть также
и
-область.
Пример 2. Тор. В плоскости
зададим окружность радиуса
с центром в точке
. Ее уравнение имеет вид
. Вращение данной окружности как твердого тела в пространстве
вокруг оси
приводит к поверхности
, называемой тором (на рис. 104 показана половина тора). Уравнение тора в декартовых координатах имеет вид


Рис. 104
Чтобы убедиться в том, что
есть
-область, достаточно поверхность
разделить на две части плоскостью
. Далее, плоскости
рассекают
на четыре элементарные
-области, а плоскости
- на четыре элементарные
-области.
Формула Гаусса—Остроградского преобразует объемный интеграл в интеграл по поверхности.
Чтобы выяснить физический смысл понятия дивергенции, будем считать, что в
имеет место стационарное течение жидкости, скорость которой в произвольной точке
равна
. Зададим произвольную, но фиксированную точку
и окружим ее шаром
радиуса
. Пусть
есть его граница (шаровая поверхность), ориентированная посредством внешней нормали. Тогда на основании формулы Гаусса-Остроградекого
.
Левая часть этого равенства выражает количество жидкости, вытекающее из
(вовне
) за единицу времени. Применяя к правой его части теорему о среднем, получим
, (6)
где
есть объем
, а
- скорость жидкости в некоторой точке из
. Разделив обе части полученного равенства на
и перейдя к пределу при
, получим в силу непрерывности
, что существует предел, равный дивергенции
:
(7)
в точке
. Таким образом,
представляет собой производительность источников, непрерывно распределенных по
в точке
. Если в точке
(или всюду на
)
, то это значит, что в
(или всюду на
) производительность источников равна нулю. Если
, то это значит, что на самом деле в соответствующей точке имеет место сток.
Из физических соображений ясно, что
есть инвариант относительно любых преобразований прямоугольных координат. Но это заключение можно сделать и на основании математических соображений.
Как мы знаем (см. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 18) скалярное произведение векторов есть ивариант при преобразованиях координат, поэтому и дивергенция (равна скалярному произведению символического вектора
и вектора
) есть инвариант относительно преобразований прямоугольных координат. Конечно, мы считаем (по определителю), что координаты символического вектора
преобразуются по тем же формулам, что и координаты обычных векторов. Точнее, если формулы преобразования от координат
точки (вектора) в первой системе координат к ее координатам
во второй системе имеют вид
, (8)
где
- соответствующая ортогональная матрица, то
. (9)
Оператор Гамильтона применяется к дифференцируемой функции
. В результате мы получаем вектор
,
называемый, как мы знаем, градиентом функции
. Функция
в этом исчислении считается скаляром. Таким образом,
есть произведение вектора
на скаляр
- результат есть вектор.
В системе координат 
,
где
- орты системы
. При этом в силу (9)
. (10)
Формулы (10) согласуются с правилами дифференцирования сложной функции
, у которой
. (11)
Формулы (11) являются обратными к формулам (8) (
, т. е. координаты
выражаются через координаты
с помощью
-го столбца матрицы
).
Здесь мы получили формулы (10), пользуясь только символическим исчислением.
Теперь, если одно и то же поле вектора определено в двух прямоугольных системах координат
и
соответственно функциями

где координаты
и
связаны по формулам (8), (11) (с заменой в них
на
), то в одной и той же точке
.
Таким образом, мы еще раз доказали инвариантность дивергенции при преобразованиях прямоугольных координат пользуясь только символическим исчислением.
Формулу Гаусса—Остроградского можно записать в плоском случае, когда
есть область в плоскости
и

- определенное на ней поле. Если
есть внешняя нормаль к кусочно-гладкому контуру
области
, то имеет место равенство
,
где
- дифференциал дуги
.

Рис. 105
Если считать, что направление касательной в точке
совпадает с положительным направлением обхода по
, вдоль которого исчисляется также длина дуги контура
, то (рис. 105)

Поэтому

Если в этой формуле заменить соответственно
на
, то мы придем к формуле Грина, которая была получена в § 3.7.