§ 3.15. Формула Стокса

Пусть в некоторой области пространства  задано поле непрерывно дифференцируемого вектора а

.

В § 3.4 мы определили понятие ротора вектора :

.

Из векторной алгебры известно (см. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 18), что векторное произведение двух векторов инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат, имеющих одну и ту же ориентацию, т. е. таких, что правая система переходит в правую, а левая - в левую. Поэтому  инвариантен относительно преобразований прямоугольных систем координат, не меняющих их ориентацию. Следовательно, можем, не вычисляя, сказать, что если наш вектор  имеет в новой (также ориентированной) прямоугольной системе координат компоненты

,

то имеет место равенство

,

где  - единичные орты в системе .

Если ориентированный контур  замкнут, то взятый вдоль него криволинейный интеграл от  будем называть циркуляцией вектора  по  и обозначать символом

.

Здесь  есть направленный в положительном направлении касательной к  вектор, длина которого равна дифференциалу дуги .

Наша цель заключается в том, чтобы обосновать формулу Стокса

,                                (1)

выражающую тот факт, что поток вектора  через ориентированную поверхность  равен циркуляции  по контуру  этой поверхности, ориентированному соответственно ориентации . Отметим, что через  мы обозначили некоторым образом ориентированную поверхность . Начнем с доказательства теоремы Стокса (т. е. формулы (1)) для гладкого куска, взаимно однозначно проектируемого на все три координатные плоскости.

Зададим ориентированный гладкий кусок  поверхности с кусочно-гладким краем  который можно записать тремя способами:

.

Предполагается, таким образом, что любое из этих уравнений разрешается относительно любой из переменных, а функции  непрерывно дифференцируемы на соответствующих проекциях  на координатные плоскости. Имеем

.    (2)

Выберем в правой части (2) члены, содержащие . Тогда (пояснения ниже)

                    (3)

Так как  ортогонален поверхности , то направляющие косинусы нормали в точке  пропорциональны координатам градиента:

.

Отсюда

,

что влечет первое равенство в цепи (3). Второе равенство следует из формулы (6) § 3.12 и правила дифференцирования сложной функции. Третье равенство следует из формулы Грина и, наконец, последнее следует из того, что уравнения контура  имеют вид

,

т.е. в обоих последних криволинейных интегралах в (3)

и на контуре

,

что равно  на .

По аналогии доказывается, что

,                              (4)

.                                               (5)

Из (3), (4), (5) следует формула Стокса (1).

Мы доказали теорему Стокса для куска ориентируемой поверхности, одновременно проектирующегося на все три плоскости координат. Имеется еще один важный простой случай, который непосредственно не охвачен нашими рассмотрениями. Мы имеем в виду тот случай, когда  есть кусок, принадлежащий некоторой плоскости, параллельной одной из осей координат. Для такого куска теорема Стокса тоже верна. В этом можно убедиться непосредственными вычислениями, подобными (3). Но можно рассуждать так. Интегралы, входящие в формулу Стокса, инвариантны относительно преобразований прямоугольных координат, не меняющих ориентацию последних. Всегда можно подобрать преобразование этого типа так, что  будет проектироваться на любую из плоскостей координат новой системы (например, совместим нашу плоскость с плоскостью, проходящей через точки ). А в этом случае теорема доказана.

Формула Стокса остается верной для любой ориентированной поверхности  с кусочно-гладким краем , которую можно разбить при помощи кусочно-гладких линий на конечное число гладких кусков, проектирующихся на все три плоскости координат.

В самом деле, пусть  есть такое разбиение, и пусть  - соответственно ориентированные контуры . Тогда, согласно доказанному выше,

потому что части интегралов , берущихся, вдоль внутренних кусков  (не принадлежащих ), проходятся два раза в противоположном направлении и дают эффект, равный нулю.

Ориентированная поверхность, которую можно разбить на конечное число треугольников (плоских), называется полиэдральной поверхностью и представляет собой пример простейшей поверхности, к которой применима формула Стокса.

Сделаем еще одно замечание. Пусть , обозначает круглую определенным образом ориентированную площадку с центром в точке  радиуса  с ориентирующим ее единичным вектором  и  - ее ориентированный контур. Согласно формуле Стокса

,

где  есть скалярная функция, равная проекции  на направление , а , есть значение этой функции в некоторой средней точке . Отсюда следует, что значение функции  в точке  равно

,                                          (6)

где при предельном переходе при  предполагается, что вектор  неизменный. В любой правой (левой) системе координат правая часть (6) есть одно и то же число. Однако при замене правой системы на левую и неизменном  направление обхода  изменяется на противоположное, что влечет изменение знака в правой части (6). Таким образом, мы убедились в инвариантности  относительно преобразований прямоугольных координат, сохраняющих ориентацию последних.

Замечание. Приведем ряд формул с участием оператора Гамильтона , которые оказываются полезными в векторном анализе.

Имеем

,

где  - скалярная функция, а  - вектор.

1) , так как символические векторы  и  отличаются только скалярным множителем. Непосредственно этот факт доказан нами в теореме 2 § 3.4

2) , так как вектор  ортогонален вектору .

3) .

В самом деле,

4) Легко проверить, что  или в символическом виде . Таким образом, оператор  действует на произведение двух функций как обычный оператор дифференцирования.

5)

или

.

6)

или

.

7) ,

где  называется оператором Лапласа. Очевидно, что

.