§ 4.6. Коэффициенты Фурье
Допустим, что функция
периода
разложена в тригонометрический ряд
, (1)
и оказалось, что этот ряд равномерно сходится к ней.
Каждый член ряда (1) есть непрерывная функция, и так как ряд (1) по условию равномерно сходится, то его сумма
есть непрерывная (на действительной оси) функция (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.8, теорема 2).
Помножим левую и правую части (1) на
, где
- натуральное число. Так как функция
непрерывна и ограничена, то полученный ряд снова будет состоять из непрерывных функций и снова будет равномерно сходиться, теперь уже к непрерывной функции
. Но равномерно сходящиеся ряды непрерывных функций законно интегрировать почленно на конечном отрезке. Проинтегрируем полученный ряд почленно на периоде, т. е. на отрезке
:

Второе равенство следует из ортогональности тригонометрических функций и формул (3) § 4.5.
Аналогично получим

и

в силу последних трех формул (2) § 4.5.
Как уже отмечалось в § 4.4, (2), числа
, вычисляемые по формулам (2) § 4.4, называются коэффициентами Фурье функции
, а сам тригонометрический ряд (1), где
и
— коэффициенты Фурье функции
, называется рядом Фурье функции
.
Итак, мы доказали, что если функция
представима в виде суммы тригонометрического ряда (1), равномерно сходящегося (для всех
!), то числа
необходимо являются коэффициентами Фурье функции
.
Замечание 1. Таким образом, всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.
Замечание 2. Мы рассмотрели здесь функцию
периода
, чтобы не усложнять записи. Для периода
рассуждения аналогичны.