§ 4.9. Ортогональная система функций
Функция
называется нормальной, если
.
Две функции
называются ортогональными (между собой), если
. Система кусочно-непрерывных на отрезке
функций
(1)
(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если функции имеют положительную норму и попарно ортогональны.
Система (1) называется ортогональной и нормальной (ортонормальной) или ортонормированной, если

т. е. она ортогональна и каждая входящая в нее функция имеет единичную норму.
Любая конечная ортогональная система функций
линейно независима в
, т. е. из того, что
,
где
- числа, следует, что все
. В самом деле, если помножить обе части этого равенства скалярно на
, то на основании линейных свойств скалярного произведения получим
,
и так как
, то
.
Если
- произвольная функция, то число

называется коэффициентом Фурье функции
относительно функции
, ортогональной системы (1). Ряд
, (2)
порождаемый функцией
, называется рядом Фурье функции
по ортогональной системе (1).
Если система (1) ортонормальна, то
и ряд Фурье функции
записывается еще проще:
. (3)
Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа
. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные системы (1). Переход от них к произвольным ортогональным системам носит технический характер.
Теорема 1. Если система (1) ортонормирована, то для любой функции
норма

среди всевозможных систем чисел
достигает своего минимума для единственной системы чисел, определяемых равенствами
,
т. е. для коэффициентов Фурье функции
.
Таким образом,
, (4)
при этом
. (5)
Доказательство. Имеем

При этом очевидно, что последнее соотношение в этой цепи обращается в равенство только в единственном случае, когда
при любом
. Тем самым мы доказали соотношения (4) и (5).
Из равенства (5), если учесть, что его левая часть есть неотрицательное число, вытекает неравенство
,
верное при любом
. Но тогда, если система (1) состоит из бесконечного числа функций
, то ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фурье функции
сходится и справедливо неравенство
, (6)
называемое неравенством Бесселя.
Очень важен тот случай, когда ортонормированная система (1) такова, что неравенство (6) обращается в равенство (равенство Парсеваля-Стеклова)
(7)
для всех функций
.
Чтобы выяснить значение равенства Парсеваля, зададим произвольную функцию
и составим для нее ее ряд Фурье
.
Сумма первых
членов этого ряда

называется
-й суммой Фурье функции
по ортогональной системе (1).
Согласно формуле (5) отклонение
от
в смысле среднего квадратического (в смысле
) равно
. (8)
Если для функции
выполняется равенство Парсеваля (7), то
, (9)
и обратно, из (9) вытекает справедливость равенства Парсеваля (7).
Существует следующая терминология. Ортогональная система (1) называется полной в
, если ряд Фурье любой функции
сходится в смысле среднего квадратического к
, т. е. если имеет место свойство (9) для всех
.
Мы, таким образом, доказали, что для того чтобы ортонормированная система (1) была полной в
, необходимо и достаточно, чтобы для любой функции
выполнялось равенство Парсеваля (7).
Примечание. Мы уже отмечали в замечании 1 §4.8, что
обозначает пространство функций
, интегрируемых в лебеговом смысле на
вместе со своими квадратами и что
.
Рассмотрим ортонормированную на отрезке
систему непрерывных функций
,
полную в том, смысле, как это мы определили выше. Мы знаем, что если
, то для чисел
(10)
выполняется равенство Парсеваля
.
Это верно и для функций
, только интегралы надо понимать в смысле Лебега.
Но имеет место и обратное утверждение: если числа
таковы, что ряд

сходится, то в
существует функция
такая, что числа
являются ее коэффициентами Фурье и выполняется соотношение (9).
А в
такой функции может и не быть. В этом проявляется несовершенство пространства
. В пространстве
недостаточно количество функций, для того чтобы это обратное утверждение имело место.