§ 4.8. Пространство функций со скалярным произведением

Функция  называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, быть может, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода (см. также § 7.4 нашей книги Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление»). Такие функции можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на  функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на  функций  и  будем называть интеграл

.                                             (1)

Очевидно, для любых кусочно-непрерывных на  функций  выполняются свойства:

1)  .

2)   и из равенства  следует, что  на , исключая, быть может, конечное число точек .

3)  , где  - произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке , для которых введено скалярное произведение по формуле (1), мы будем обозначать  и называть пространством  или .

Замечание 1. В математике называют пространством  совокупность функций , интегрируемых в лебеговом смысле на  вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (1). Рассматриваемое пространство  есть часть . Пространство  обладает многими свойствами пространства , но не всеми (см. далее примечание в § 4.9).

Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского (см. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 6, (6))

,

которое на языке интегралов выглядит так:

.

Величина

называется нормой функции .

Норма обладает следующими свойствами:

1) ,

при этом равенство может быть только для нулевой функции , т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 6.2, теорема 5),

2) ,

3) , где  - действительное число.

Второе свойство на языке интегралов выглядит так:

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций , принадлежащих к , сходится к функции  в смысле среднего квадратического на  (или еще по норме ), если

.

Отметим, что если последовательность функций  сходится равномерно к функции  на отрезке , то для достаточно больших  разность  по абсолютной величине должна быть мала для всех .

В случае же, если  стремится к  в смысле среднего квадратического на отрезке , то указанная разность может и не быть малой для больших  всюду на . В отдельных местах отрезка  эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от ее квадрата по отрезку  был мал для больших .

Пример. Пусть на  задана изображенная на рис. 120 непрерывная кусочно-линейная функция , причем

.

Рис. 120

При любом натуральном  

,

и, следовательно, эта последовательность функций не является равномерно сходящейся к нулю при .

Между тем

т. е. последовательность функций  стремится к нулю в смысле среднего квадратического на .

Из элементов некоторой последовательности функций  (принадлежащих ) построим ряд

.                             (2)

Сумма первых его  членов

есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в , существует функция  такая, что

,

то говорят, что ряд (2) сходится к функции  в смысле среднего квадратического и пишут

.

Замечание 2. Можно рассматривать пространство  комплекснозначных функций , где  и  действительные кусочно-непрерывные на  функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций  и  определяется следующим образом:

,

а норма  определяется как величина

.