§ 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье
Рассмотрим сначала кусочно-гладкую периода
функцию
, удовлетворяющую свойству
. (1)
Это значит, что
имеет период
, непрерывна и имеет непрерывную производную всюду на действительной оси, за исключением точек, которых на периоде
конечное число; при этом в этих точках существуют пределы
и
справа и слева. Кроме того, мы предполагаем, что в любой точке выполняется равенство (1). Это условие конечно существенно только для точек разрыва
, потому что в точках непрерывности оно выполняется автоматически. Совокупность всех указанных периодических функций
обозначим через
.
Для каждой функции
можно рассматривать ее ряд Фурье
, (2)
где
, (3)
, (4)
, (5)
.
Выпишем еще
-ю сумму ряда Фурье функции
:
. (6)
В теории рядов Фурье доказывается, что для любой функции
имеет место
, (7)
т. е. ряд Фурье функции
сходится к ней в любой точке
.
Интегралы Фурье могут быть введены по аналогии с рядами Фурье.
Теперь мы будем рассматривать непериодические функции
кусочно-гладкие и абсолютно интегрируемые на действительной оси. Для них, таким образом, интеграл (несобственный)

конечен.
Термин кусочно-гладкая функция понимается в следующем смысле. Функция
непрерывна и имеет непрерывную производную для всех точек
действительной оси за исключением конечного числа точек, где функция
или ее производная
разрывна. Однако в точках разрыва существуют правый и левый пределы как
, так и
, при этом имеет место равенство
.
Совокупность указанных непериодических функций обозначим через
.
По аналогии с коэффициентами Фурье мы вводим для функций
функции
, (3')
, (4')
. (5')
В то время как коэффициенты Фурье определяются для дискретных значений
, их аналоги (3') - (5') являются уже функциями непрерывного аргумента
.
По нашему предположению функция
кусочно-непрерывна, тем не менее функции
и
непрерывны.
Например, пусть для простоты функция
имеет только одну точку разрыва
. Тогда интеграл (3') можно разбить на два интеграла
. (8)
Если видоизменить функцию
в точке
, считая, что
то под первым интегралом в (8) будет находиться непрерывная функция от
и
. По признаку Вейерштрасса (см. теорему 3 § 2.15) первый интеграл равномерно сходится, потому что
.
Но тогда первый интеграл есть непрерывная функция от
(см. теорему 1 § 2.15). Подобным образом доказывается непрерывность по
и второго интеграла (8).
Отметим еще, что
, (9)
, (10)
. (11)
Например, чтобы доказать свойство (9), введем в интеграле (3') замену переменной
. Тогда
.
Из этого равенства и из (3') следует:
.
Последнее соотношение (стремление к нулю), конечно, надо доказывать, но мы это делать не будем.
Аналогом отдельного члена ряда Фурье (гармоники) естественно считать функцию
(12)
Точнее, аналогом члена ряда Фурье надо считать
. (12')
Аналогом
-й суммы Фурье надо считать следующий интеграл (см. (12)):
(13)
Мы переставили местами интегралы. В данном случае это законно. На основании известной в анализе теоремы Фубини переставлять интегралы в кратном интеграле можно, если после перестановки получится абсолютно сходящийся кратный интеграл. В данном случае
.
В силу (12) функцию
можно также записать в комплексной форме
(13')
Функцию
(14)
называют простым интегралом Фурье.
Можно доказать, что если
, то для 
, (15)
т. е. имеет место свойство, аналогичное свойству (7) для рядов Фурье.
Отметим, что
-я сумма ряда Фурье периодической функции может быть записана следующим образом (пояснения ниже):
(16)
В предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.8 (15))
.
В последнем же равенстве (16) мы сделали замену переменной
. В силу этой замены интеграл по отрезку
по
перейдет в интеграл по
по
, но последний отрезок можно снова заменить на отрезок
, потому что подынтегральная функция (от
) периода
(см. (3) § 4.3).
Мы видим, что интеграл в правой части (16) очень похож на интеграл (14). Поэтому не так уж удивительно, что оба эта интеграла стремятся при
к функции
.
Из (13) и (15) следует, что
. (17)
Следовательно, для любой функции 
. (18)
Это очень важное равенство, которое составляет основу в теории интегралов Фурье.
Интеграл в (18) называется повторным интегралом Фурье.
Равенство (18) утверждает, что для функций
повторный интеграл Фурье от
в точке
равен значению функции
в точке
.
В интеграле (18) менять порядок интегрирования нельзя. Да ничего бы и не получилось хорошего. Если бы мы произвели такую замену - пришлось бы тогда интегрировать по
функцию
(при фиксированных
и
) на бесконечном интервале
, но такой интеграл не имеет смысла.
Таким образом, в повторном интеграле (18) мы должны сначала интегрировать функцию
по
на
, а затем по
на
. Оба интеграла несобственные. Интеграл по
, очевидно, абсолютно сходится. Что же касается интеграла по
, то это, вообще говоря, не так.
Буквы
и
в интеграле (18) можно, конечно, заменить при желании любыми другими буквами
что не изменит величину интеграла.
Из (13) и (15) мы получили формулу (18). С другой стороны, из (13') и (15) мы получим другую важную формулу, верную для функций
:
. (19)
Введем обозначения

называется преобразованием Фурье или прямым преобразованием Фурье функции
, а
называется обратным преобразованием Фурье функции
. Операции ~ и ^ взаимно обратны. Если к функции
применить операцию ~, а к полученной функции
применить операцию ^, то, как видно из (19) , получим снова функцию
:
, аналогично
(20)
Задача. Доказать следующие формулы для функций
:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
(
-действительное);
6)
.
Например,
