§ 4.13. Косинус- и синус- преобразования Фурье
В силу (18) § 4.12 для
имеет место равенство
(1)
Если функция
четная, то второй интеграл в правой части (1) равен нулю, а в первом интегрирование по
на
сводится к интегрированию по
, и мы получим формулу
. (2)
Для нечетной же функции
первый интеграл справа в (1) равен нулю, а функция
четная. Поэтому
. (3)
В формулах (2) и (3) можно считать, что
, а
есть произвольная кусочно-гладкая функция, принадлежащая
. Ведь в этих формулах используются только значения
на полуоси
. Поясним это замечание подробнее.
Пусть задана кусочно-гладкая функция
такая, что
. Продолжив ее на всю действительную ось четным образом, получим четную кусочно-гладкую функцию
, для которой верна формула (2); в частности, она верна для
.
Будем теперь считать, что для нашей кусочно-гладкой функции
выполняется равенство
(вообще
). Продолжим
нечетным образом на
, получим нечетную кусочно-гладкую функцию
, для которой верна формула (3); в частности, она верна для
. Подчеркнем, что в формуле (3)
, в то время как в формуле (2) значение
может быть любым.
Интегралы
.
называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье. Из формул (2) и (3) непосредственно следует, что если к кусочно-гладкой функции
применить последовательно два раза косинус- (или синус-) преобразование Фурье, то получим исходную функцию
. В этом смысле косинус- (синус-) преобразование Фурье является обратным самому себе.