9.3. Спектральное оценивание

9.3.1. Введение

Спектральный анализ, или спектральное оценивание, представляет еще одну область применения адаптивных фильтров [142]. Спектральное оценивание можно осуществить двумя способами: основанными на методах параметрического моделирования [87, 108, 141, 249] и на непараметрических подходах. Анализ Фурье [40], широко применявшийся для описания широкополосных сигналов, - пример непараметрического подхода.

При параметрическом спектральном оценивании полагают, что подлежащая анализу характеристика содержит широкополосный шум, который фильтруется системой или проходит по тракту передачи. Тогда в процессоре для спектрального оценивания адаптивный фильтр используется для моделирования характеристики, обратной характеристике системы или передаточной характеристике, а по завершении установления, последующая обработка полюсов или нулей моделирующего фильтра дает информацию о спектральных свойствах входного сигнала, в зависимости от модели системы. Такие методы параметрического моделирования, аналогичные методам моделирования с помощью калмановских фильтров, показанных на рис. 2.3, подразделяются в дальнейшем в соответствии с различными типами фильтров, применяемых для выполнения  спектрального оценивания. Фильтры КИХ – типа, характеристики которых содержат только нули, являются инверсными по отношению к авторегрессивным (АР) моделям, тогда как полностью рекурсивные фильтры (характеристики которых содержат только полюсы) являются инверсными по отношению к моделям со скользящим средним (СС). Авторегрессивные модели со скользящим средним (АРСС) получаются для фильтров БИХ – типа, характеристики которых содержат как полюсы, так и нули. Для минимизации объема вычислений и обеспечения устойчивых свойств сходимости важно заранее знать тип модели системы, Чтобы можно было применить оптимальную модель фильтра. Однако, поскольку фильтр КИХ – типа может дать характеристику, аналогичную характеристике рекурсивного фильтра, при условии достаточного количества каскадов, АР – модели можно применять в любом случае, хотя это может привести к менее эффективному использованию аппаратных средств или машинного времени.

На рис. 9.5 показано влияние параметрического спектрального оценивания на сигнал, содержащий пять отдельных синусоид. Оценивание производится с помощью набора каскадированных фильтров ошибки предсказания (КИХ – типа). Они постепенно обеляют входной сигнал, и если после завершения процесса установления коэффициенты фильтра подвергнуть преобразованию Фурье, получим характеристику анализатора спектральной плотности мощности. На рис. 9.5 представлен преобразованный выходной сигнал фильтров ошибки предсказания, порядок которых постепенно увеличивается от 1 до 10. Такое моделирование показывает, что любой каскад второго порядка может управлять положением пары нулей для генерации пары полюсов, соответствующих одной синусоиде. Следовательно, для такого входного сигнала, содержащего пять синусоид, требуется фильтр 10 –го порядка. Увеличение порядка фильтра свыше 10 не дает существенных улучшений. Если порядок фильтра недостаточно высок (например, порядок схемы равен 6), он попарно группирует синусоиды и сходится к значениям полюсов, соответствующим трем дискретным частотам, которые он может идентифицировать. Поскольку этот тестовый сигнал представляет собой набор синусоид без шума, их относительные частоты точно идентифицируются на рис. 9.5, но информация о точном значении амплитуды отсутствует.

Принцип действия каскада фильтров ошибки предсказания иллюстрируется далее на рис. 9.6, показывающем как происходит обеление спектра выходного сигнала по мере постепенного перемещения по каскаду. В данном примере на вход фильтра поступает белый шум, свернутый с синтезированным импульсным откликом канала  для получения спектральной плотности мощности отфильтрованного входного сигнала, показанной на рис. 9.6 для нулевого порядка.

Теперь фильтр ошибки предсказания обладает соответствующими нулями в характеристике для моделирования входного сигнала. Это приводит к постепенному обелению спектра по мере его прохождения по каскадам фильтра. По сравнению с методами анализа Фурье, подход на основе адаптивного параметрического спектрального оценивания оптимально идентифицирует местоположение входных синусоид, но не дает подробного описания областей между ними. При малых отношениях сигнал – шум на входе шумовые составляющие в промежутках между синусоидальными тонами выводят фильтр из устойчивого состояния, что делает такой подход к определению спектрального отклика входного сигнала не столь удачным, как метод Фурье. Таким образом, обычно считается, что непараметрические методы анализа Фурье больше подходят для анализа в широкой полосе частот при малых входных отношениях сигнал – шум (ОСШ). Однако, разрешающая способность данного метода, пропорциональная интервалу наблюдения, невысока. В случае изменяющегося во времени спектра или коротких временных последовательностей, таких, как отраженный сигнал импульсивного радиолокатора, интервал наблюдения должен быть ограниченным, что уменьшает разрешающую способность метода на основе анализа Фурье. Кроме того, погрешности дискретного преобразования Фурье (ДПФ) приводят к размытию спектральных составляющих [42]. Эти недостатки вызвали интерес к более новым методам параметрического моделирования, дающим увеличение разрешающей способности путем экстраполяции значений автокорреляционной функции за пределы известного времени запаздывания. В случае ДПФ – процессора они полагаются равными нулю, что вносит погрешности при определении спектра.

Рис. 9.5. Применение фильтров ошибки предсказания для параметрического спектрального анализа. Из рисунка видно, как преобразованные коэффициенты фильтра приводят к характеристике спектральной плотности мощности для входного сигнала, содержащего пять отдельных синусоид. Моделирование показывает, что точность анализа повышается по мере увеличения сложности или порядка фильтра. (Предоставлено М. Руттером.)

Рис. 9.6. Спектр выходного сигнала с каскада фильтра ошибки предсказания, постепенно обеляющийся по мере увеличения порядка фильтра. Входной тестовый сигнал – белый шум, свернутый с импульсной характеристикой . (Предоставлено М. Руттером)

Показано, что метод максимальной энтропии (ММЭ) в спектральном анализе [44, 45, 141, 273] , основанный на авторегрессивной модели КИХ – типа, обеспечивает более общий подход по сравнению с подмножеством АР – методов спектрального оценивания. В методе максимального правдоподобия (ММП) [48], являющимся еще одним АР – методом, измеряется выходная мощность набора узкополосных фильтров. В отличие от ДПФ, каждый из таких фильтров может иметь различную форму амплитудно-частотной характеристики и центральную частоту, и они адаптивно настраиваются на частоты сигналов, присутствующих на входе. Следовательно, достигается разрешающая способность, превышающая разрешающую способность ДПФ, но не столь высокая, как для других АР – методов (см. рис. 9.12, на котором даны результаты аналогичной обработки для случая пеленгования). ММП широко применяется в частотном анализе волнового числа в сейсмических решетках. Основная особенность этих авторегрессивных методов, основанных на линейных алгоритмах, заключается в том, что они хорошо функционируют лишь при наличии нескольких синусоид, поскольку дают возможность уменьшить количество данных; это послужило основой для их широкого использования наряду с обработкой сейсмических данных в таких областях применения, как анализ и синтез речи.