2.2.1 Практический пример устройства, реализующего винеровскую оценку

В этом разделе рассмотрен практический пример устройства винеровской оценки для случая, когда наблюдаемый сигнал является суммой синусоиды и белого шума:

                                                                                                                (2.13)

Следовательно, входной сигнал  представляет собой синусоиду с частотой, точно равной одной восьмой частоты дискретизации фильтра. Для упрощения последующих выводов будем полагать, что полученный фильтр будет иметь только четыре весовых коэффициента. Из решения (2.12) уравнения Винера – Хопфа видно, что необходимо получить автокорреляционную матрицу , определяемую как

                                                 (2.14)

 

                                 (2.15)

Следует отметить, что все члены (2.15) можно получить из первой строки матрицы, поскольку

      

Это простое следствие теоретически бесконечного среднего, получаемого в результате применения оператора математического ожидания, т. е. существенной является лишь временная разность между двумя операндами, если полагать, что временнóй ряд является стационарным.

Тогда (2.15) сводится к

              (2.16)

Такая симметричная матрица считается по сути матрицей Теплица. Получить значение элементов данной матрицы особенно просто в случае нашего примера, поскольку шумовая составляющая влияет лишь на ее диагональные члены, а все остальные члены можно найти из детерминированной компоненты сигнала , которая имеет только 8 уровней квантования с определенным интервалом дискретизации. Значения элементов матрицы следующие:

                                                          (2.17)

 

где . Дальнейшие преобразования упрощаются, если применить подстановку:

                                                                                               (2.18)

 

Тогда матрица, обратная  определяется как:

                                              (2.19)

 

Чтобы получить весовой вектор Винера, надо ввести также матрицу взаимной корреляции , определяемую формулой

                                                                                  (2.20)

Подставив вновь истинные значения из (2.13), получаем

                                     

                                                                                    (2.21)

Умножив  на матрицу  из (2.19), найдем

                                                                        (2.22)

Определяя значения  из (2.22), приходим к согласованному фильтру для случая синусоидального входного сигнала. Остаточную среднеквадратичную ошибку можно легко вычислить из (2.22) и (2.7), подставив в (2.7).

Из (2.9) можно получить следующее выражение:

                                                                                          (2.23)

и среднеквадратичную ошибку записать в виде:

                                .                          (2.24)

Преобразуем теперь формулу для среднеквадратичной ошибки:

  

                                                                                         (2.25)

Подставляя значения  из (2.21) и из (2.22), получаем формулу для остаточной среднеквадратичной ошибки:

                                                                      (2.26)

Следовательно, при  среднеквадратичная ошибка (СКО) равна нулю, а при отношении сигнал – шум, равном 0 дБ (т. е. ), конечная  СКО равна  (величина СКО до процесса оценивания была равна ).

Увеличение порядка (т. е. использование оценивающего фильтра с большим временным интервалом обработки сигнала) приводит к соответствующему уменьшению оптимальной остаточной среднеквадратичной ошибки. Здесь был приведен пример лишь для того, чтобы на практике показать, какую обработку данных необходимо выполнить для реализации винеровского устройства оценки.  При использовании более высоких порядков можно было бы получить лучшие оценки, однако для этого потребовался бы гораздо больший объем вычислений.