2.3 Оптимальное рекурсивное калмановское оценивание

Винеровская оценка, рассмотренная в разд. 2.2 по существу является блочным процессом оценки, который лучше всего подходит для случая, когда в распоряжении имеется лишь конечная выборка (блок) данных, и оценку можно произвести на «автономном» компьютере. Однако, если иметь дело с бесконечным временным рядом винеровская оценка для каждой новой выборки потребовала бы полного пересчета всех членов авто- и взаимно-корреляционных функций. В оптимальном рекурсивном (или калмановским) устройстве оценки поступающая информация используется для корректировки рекурсивной оценки [39, 170, 173].

В данном разделе будет приведен вывод соотношений для скалярного фильтра Калмана, а в разд. 2.4 он будет развит для построения векторного фильтра Калмана. В разд. 2.5 представлен пример применения векторного фильтра Калмана для коррекции канала связи.

2.3.1 Скалярный фильтр Калмана

По существу,  устройство калмановской оценки реализует процесс параметрического оценивания, основанный на авторегрессивной (АР) модели процесса генерации сигнала. АР-модель процесса первого порядка данного типа показана на рис. 2.3, а, а соответствующая модель измерений – на рис. 2.3, б. 

Рис. 2.3. а – рекурсивная модель генерации сигнала первого порядка; б – модель схемы измерения данных

Модель измерений представляет просто усилительное звено и источник аддитивного  белого шума . Приняв эту модель генерации сигнала, поступающую выборку сигнала с номером можно определить как

           (2.27)

Рекурсивная формула оценки первого порядка имеет вид

          (2.28)

Отметим, что в (2.28) коэффициенты передачи усилительных звеньев фильтра зависят от времени (структурная схема этого устройства оценки в общем виде показана на рис. 2.4).

Рис. 2.4 Обобщенная структурная схема рекурсивного устройства оценки первого порядка

Для получения оптимального (с точки зрения метода наименьших квадратов) устройства оценки среднеквадратичная ошибка  дифференцируется по  и , а результаты приравниваются к нулю:

        (2.29)

       (2.30)         

            (2.31)

Соотношение между  и  можно вывести, воспользовавшись (2.30):

                (2.32)

 

              (2.33)

Подставив значение из (2.27), находим

  .   (2.34)

Для оптимального устройства оценки должен выполняться принцип ортогональности, который приводит к следующим соотношениям:

     

Тогда уравнение (2.34) примет вид

               (2.35)

Из нашей модели генерации сигнала имеем

          (2.36)

Подставляя (2.36) в (2.35), получаем 

          (2.37)

Из уравнений (2.27) и (2.28) находим

         (2.38)

а подстановка из (2.36) дает:

                 (2.39)

и поскольку среднее всех произведений членов (2.39) на  равно нулю, можем записать

Воспользовавшись этим соотношением, преобразуем (2.37):

            (2.40)

Это приводит к окончательному соотношению между  и :

              (2.41)

Подставляя (2.41) в (2.28), находим

            (2.42)

Уравнение (2.42) является определением оптимального рекурсивного устройства оценки первого порядка или скалярного фильтра Калмана. Первый член  предсказывает текущую выборку, а второй член корректирует на основании оценки ошибки с учетом калмановского коэффициента . Структура такого фильтра иллюстрируется на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Блок-схема скалярного фильтра Калмана первого порядка.