2.3.2. Вывод коэффициента фильтра Калмана

Определив структуру фильтра Калмана, необходимо получить выражения для изменяющегося во времени коэффициента усиления Калмана . Сначала, подставляя (2.28) в (2.29) , определим среднеквадратичную ошибку в виде

                                                                 (2.43)

                                                                                                                      (2.44)

Используем (2.27) вместо для подстановки в (2.44):

                                                                                              (2.45)

Подставляя (2.45) в (2.44), находим:

                                                                                                              (2.46)

           

Раскрывая  и, используя  выражение (2.28) для , получаем:

                                                                               (2.47)

                                                                                                                           (2.48)

где . Теперь, подставляя (2.42) в выражение для среднеквадратичной ошибки (2.29), имеем:

                                                          (2.49)

а используя (2.27) и (2.36), находим:

                                       (2.50)

                                                              (2.51)

Подстановка (2.47) в (2.51) дает:

                                                                                     (2.52)

Отметим, что сначала, зная  , надо рассчитать , а затем уже   по формуле:

                                                                                                           (2.53)

Три уравнения: (2.42), (2.52) и (2.53) – являются рекурсивными уравнениями, необходимыми для реализации фильтра Калмана первого порядка. В отличие от фильтра Винера, усиление фильтра Калмана должно быть выражено итерационным соотношением, а, следовательно, его нельзя представить в виде универсального стационарного решения.