3.2.6. Асимптотические свойства адаптивного фильтра

Представленная выше теорема дает также полезную меру «шумовых свойств» коэффициентов адаптивного фильтра, как функции числа выборок данных и статистического распределения данных. Когда адаптивный алгоритм работает с бесконечной памятью , дисперсия коэффициентов фильтра будет уменьшаться обратно пропорционально количеству выборок данных. В конечном итоге, для всех практических целей коэффициенты можно считать постоянными. В случае, когда , коэффициенты всегда будут включать шумовую составляющую с дисперсией, зависящей от эффективной длины окна . Дисперсия коэффициентов фильтра будет ограничена снизу величиной  [в соответствии с формулой (3.42), где надо заменить текущее время на эффективную длину окна ]. Когда окно имеет достаточную длину, дисперсия коэффициентов фильтра будет вполне удовлетворительно предсказана асимптотической границей. Для коротких окон истинная дисперсия может быть гораздо больше, чем ее предсказанное граничное значение. До настоящего времени не имеется аналитических результатов для определения длины окна, при превышении которой справедлива асимптотическая оценка. Для ответа на этот вопрос необходимы имитационные исследования.

Полезным критерием рабочих характеристик адаптивного фильтра служит дисперсия выходного сигнала. Выходной сигнал фильтра с произвольным вектором коэффициентов  определяется формулой [см. (3.1)]

        (3.43)

Выходной сигнал всегда можно разложить на сумму «оптимальной» ошибки предсказания и еще одного члена:

          (3.44)

Отсюда следует

            (3.46)

Уравнением (3.46) можно воспользоваться для оценки дисперсии выходного сигнала при любом фиксированном векторе коэффициентов . Как и ожидалось, дисперсия на выходе будет минимизирована тогда и только тогда, когда . Минимальную дисперсию можно оценить следующим образом:

                   (3.47)

Воспользовавшись определением  из (3.32), получим

      (3.48)

Следует заметить, что в процессе выполнения адаптивного алгоритма сами коэффициенты фильтра входят в выражения как случайные величины. Тогда, чтобы оценить выходную дисперсию, мы должны воспользоваться (3.45), заменив  на :

            (3.49)

Здесь мы предположим, что  и не коррелированы. Другими словами, увеличение дисперсии выходного сигнала вследствие «шумовых свойств» коэффициентов определяется формулой:

                      (3.50)

В литературе по обработке сигнала это отношение иногда называют «коэффициентом расстройки» адаптивного фильтра. Вышеприведенный результат был введен для случая бесконечной памяти . В случае конечной памяти следует использовать (3.50), заменив  на эффективную длину окна , и рассматривая ее как нижнюю границу истинного коэффициента рассогласования.