4.2. Методы минимальной среднеквадратичной ошибки
4.2.1. Вывод необходимых условий для решения
Рассмотрим сначала алгоритмы, основанные на минимизации среднеквадратичного значения ошибки
. Эти методы имеют теснейшую взаимосвязь с подходами, использованными в гл. 2 и 3, где полагали, что
и
- стохастические величины с нулевым средним, стационарные в широком смысле. Для неадаптивного фильтра это означало бы, что
и
- также стохастические величины с нулевым средним, стационарные в широком смысле.
Для удобства, начиная отсюда, будем предполагать, что ядро фильтра БИХ- типа имеет обычную форму, т. е. выходной сигнал
задается разностным уравнением:
(4.1)
где
и
- коэффициенты усиления и обратной связи соответственно, которые будут адаптивно модифицироваться.
Для удобства последующего изложения полезно определит вектор совокупности коэффициентов
и вектор совокупности данных
:
(4.2)
(4.3)
Введя эти обозначения, функцию стоимости
можно записать в виде:
(4.4)
Хорошо известно , что когда вектор
фиксируется, фильтр становится оптимальным при
, где
(4.5)
Поскольку
не является функцией
, это необходимое условие превращается в систему скалярных уравнений:
(4.6)
Рассмотрим теперь частные производные
. Анализ (4.1) показывает, что частная производная
по
должна содержать
; но разве это все? Конечно, нет; оценка (4.1) для
показывает, что
также является функцией
. Вообще говоря, нетрудно убедиться, что эта частная производная будет зависеть от всех значений
на выводах «линии задержки». Помня об этом, можно показать, что условие ортогональности (4.5) приводит к следующим скалярным условиям:
(4.7)
и
(4.8)