4.2. Методы минимальной среднеквадратичной ошибки

4.2.1. Вывод необходимых условий для решения

Рассмотрим сначала алгоритмы, основанные на минимизации среднеквадратичного значения ошибки . Эти методы имеют теснейшую взаимосвязь с подходами, использованными в гл. 2 и 3, где полагали, что  и  - стохастические величины с нулевым средним, стационарные в широком смысле. Для неадаптивного фильтра это означало бы, что  и  - также стохастические величины с нулевым средним, стационарные в широком смысле.

Для удобства, начиная отсюда, будем предполагать, что ядро фильтра БИХ- типа имеет обычную форму, т. е. выходной сигнал задается разностным уравнением:

          (4.1)

где  и  - коэффициенты усиления и обратной связи соответственно, которые будут адаптивно модифицироваться.

Для удобства последующего  изложения полезно определит вектор совокупности коэффициентов  и вектор совокупности данных :

     (4.2)

             (4.3)

Введя эти обозначения, функцию стоимости можно записать в виде:

        (4.4)

Хорошо известно , что когда вектор фиксируется, фильтр становится оптимальным при , где

        (4.5)

Поскольку  не является функцией , это необходимое условие превращается в систему скалярных уравнений:

                (4.6)

Рассмотрим теперь частные производные . Анализ (4.1) показывает, что частная производная  по должна содержать ; но разве это все? Конечно, нет; оценка (4.1) для  показывает, что также является функцией . Вообще говоря, нетрудно убедиться, что эта частная производная будет зависеть от всех значений  на выводах «линии задержки». Помня об этом, можно показать, что условие ортогональности (4.5) приводит к следующим скалярным условиям:

     (4.7)

и

               (4.8)