4.2.2. Методы решения

Непосредственное решение. Самый очевидный метод нахождения оптимального вектора параметров фильтра состоит в непосредственном решении  совместных уравнений (4.7) и (4.8). В принципе это несложно. Предполагая, что функции автокорреляции и взаимной корреляции и известны, при любых и  можно вывести уравнение для  и, следовательно, свойства автокорреляции и взаимной корреляции. Подставив эти функции в (4.7) и (4.8), в принципе получим решение. 

Отметим также, что (4.7) и (4.8) – в сущности «нормальные уравнения» метода наименьших квадратов, выведенные в гл. 2. Однако, на практике описанный подход совершенно неприемлем при порядках знаменателя, превышающих 2. Даже при  уравнения для коэффициентов фильтра становятся нелинейными. Нелинейность не только усложняет решение, но допускает возможность получения неоднозначных и не существующих решений.

Эти аналитические трудности, наряду с тем фактором, что функции автокорреляции и взаимной корреляции и  редко известны на практике, вызвали падение интереса к непосредственному решению.

Итеративное решение. Зная об аналитических трудностях, возникающих при непосредственном решении задачи для фильтра БИХ – типа с помощью метода минимальной среднеквадратичной ошибки (МСКО), сконцентрируем далее все внимание на разработке итеративных методов решения. В данном случае, эти методы не только не имеют никакой реальной альтернативы, но и обладают рядом серьезных практических преимуществ:

1. Не требуется использовать сложные численные методы (например, обращение матриц).

2. Не требуется знать функции корреляции для и .

3. Можно отслеживать «медленные» нестационарности и .

Все это, по существу, стимулировало разработку итеративных методов нахождения оптимальных коэффициентов.

Самый общий итеративный метод основан на нахождении градиента поверхности рабочей характеристики МСКО. Если обозначить вектор параметров в момент времени , как , корректирующий алгоритм можно задать в виде:

            (4.9)

где - скалярная последовательность, а  - градиент функции стоимости по вектору параметров . При соответствующем выборе последовательности  сходимость будет гарантирована; однако только в том случае, когда функция стоимости является унимодальной по отношению к , будет иметь место сходимость к глобальному оптимальному вектору  при произвольном начальном выборе .  Кратко остановимся на этом вопросе.

Возвращаясь к (4.5), видим, что градиент поверхности рабочей характеристики, при фиксированном , определяется  формулой:

            (4.10)

Составляющие градиента (снова при фиксированном ) имеют вид:

           (4.11)

          (4.12)

Обратившись вновь к определениям и , замечаем, что при фиксированном выражения (4.11) и (4.12) упрощаются до удобной рекурсивной формулы:

    (4.13)

Эта формула показывает, что градиент  и, следовательно, градиент  обязательно зависят от предыдущих значений градиента, выраженных через коэффициенты обратной связи фильтра.

Алгоритм нахождения истинного градиента можно получить, если подставить (4.10) в (4.9), однако полученная формула будет непригодна для практического применения, так как в нее входит оператор математического ожидания.

Когда в нашем распоряжении нет истинного градиента, то в некоторых случаях вполне достаточно несмещенных оценок; с этой целью был предложен и использован следующий адаптивный алгоритм:

Для каждого

             (выходной сигнал фильтра)  (4.14а)

          (оценивание градиента),             (4.14б)

    (корректировка коэффициентов)    (4.14в)

Для каждого значения мы сначала определяем выходной сигнал фильтра, а затем оцениваем градиент . Потом обе эти величины используем для корректировки набора коэффициентов .

Уравнения (4.14) представляют собой упрощение идеального уравнения в двух отношениях. Во-первых, градиент функции рабочей характеристики аппроксимируется в большей степени оценкой, а не самим математическим ожиданием. Во-вторых, градиент   аппроксимируется с помощью допущения о том, что коэффициенты  изменяются во времени. Это изменение во времени влияет на (4.14б), поскольку рекуррентный метод дает , а не фиксированные значения для . На практике обе указанные проблемы можно преодолеть, сделав очень малым. Если это достигнуто, то вектор изменяется очень медленно и (4.14б) хорошо аппроксимирует (4.13). Упомянутое медленное изменение подразумевает также эффективное усреднение по времени градиента функции рабочей характеристики. Если усреднение было достаточно продолжительным, то из свойства эргодичности следует, что истинное значение градиента будет сколь угодно близко к математическому ожиданию.  Оба условия оказывают  влияние на соответствующий выбор последовательности . Отметим, что первое из этих условий действительно предполагает, что сходимость будет достаточно медленной, так что можно допустить уменьшение всех постоянных времени ядра фильтра. По существу, (4.14б) выполняется с учетом предыстории градиента выходного сигнала. Во избежание влияния новой информации о градиенте на старую информацию, фильтр должен перестраиваться достаточно медленно, чтобы старая информация успела исчезнуть.

Для обоснования данного адаптивного алгоритма был использован большой объем машинного моделирования, и, вообще говоря, оно показало, что при адекватно малом  и внимании к устойчивости ядра алгоритм будет надежно сходиться к минимуму функции рабочей характеристики, т. е. к МСКО. Однако, поскольку градиентным уравнениям присуща собственная нелинейность, их решением, полученным итеративным или непосредственным способами, может быть, вообще говоря, множество экстремумов.

Следовательно, нахождение оптимального вектора  путем определения градиента функции рабочей характеристики необязательно будет успешным. Сходимость к локальному минимуму будет неизменно иметь место для определенных начальных значений параметров. Более того, вычисление градиента, как показывает уравнение (4.14б), само по себе является рекурсивным процессом и может включать значительные объемы вычислений [250].

Подводя итог, мы можем сказать, что основная проблема расчета фильтров БИХ – типа, как адаптивных, так и иного типа, заключается в отсутствии математических преимуществ; в результате для оценивания оказалась полезной рабочая характеристика метода наименьших квадратов. Кроме того, общие рамки градиентного метода менее пригодны для развития стратегии адаптации применительно к расчету фильтров БИХ – типа.