2.1.2. Стационарные стохастические процессы

Весьма специальный класс стохастических процессов, называемых стационарными процессами, основывается на предположении, что процесс находится в определенном статистическом равновесии. Стохастический процесс называется строго стационарным, если его свойства не зависят от изменения начала отсчета времени. Иными словами, если совместное распределение вероятностей наблюдений сделанных в любые моменты времени , такое же, что и для наблюдений , сделанных в соответствующие моменты времени . Поэтому, чтобы дискретный процесс был строго стационарным, взаимное распределение любой совокупности наблюдений не должно изменяться при сдвиге всех времен наблюдений вперед или назад на любое целое число .

Среднее значение и дисперсия стационарного процесса. Когда , из предположения о стационарности процесса следует, что распределение вероятности одинаково для всех времен и может быть записано как . Отсюда стохастический процесс имеет постоянное среднее значение

, (2.1.1)

определяющее уровень, относительно которого он флуктуирует, и постоянную дисперсию

, (2.1.2)

измеряющую его в размерах относительно этого уровня. Поскольку распределение вероятности одинаково для всех времен , его форм может быть оценена по гистограмме наблюдений временного ряда. Кроме того, среднее значение стохастического процесса можно оценить с помощью выборочного среднего временного ряда

, (2.1.3)

а дисперсию стохастического процесса – с помощью выборочной дисперсии

. (2.1.4)

Рис. 2.4. Диаграммы разброса при задержках 1 и 2 для данных о выходе партий продукта на рис. 2.1.

Автоковариация и коэффициенты автокорреляции. Из предположения о стационарности следует также, что совместное распределение вероятностей одинаково для всех времен , разделенных одним и тем же интервалом. Следовательно, природу для совместного распределения можно оценить по диаграмме рассеяния, построенной по парам значений временного ряда, разделенных постоянным интервалом, или задержкой . Диаграммы рассеяния на рис.2.4 построены по данным циклического процесса. На рис. 2.4,а показаны данные для задержки (по одной оси отложено , а по другой ). На рис. 2.4,б показаны данные для задержки (по одной оси отложено , а по другой ). Мы видим, что соседние значения временных рядов коррелированны; корреляция между и отрицательная, а между и положительная. Ковариация между значениями и , отделенными интервалами времени, называются автоковариацией с задержкой, и определяется как