2.1.3. Положительная определённость и автоковариационная матрица

Ковариационная матрица, связанная со стационарным процессов, для наблюдений (), сделанных в  последовательных моментов времени, имеет вид

     (2.1.7)

Ковариационная матрица  такого вида (симметричная и с одними и теми же элементами на любой диагонали) называется автоковариационной матрицей; соответствующая корреляционная матрица  называется автокорреляционной матрицей. Рассмотрим любую линейную функцию случайных переменных

.            (2.1.8)

Так как для стационарного процесса , дисперсия  равна

и всегда больше нуля, если не все  равны нулю. Отсюда следует, что и автоковариационная, и автокорреляционная матрицы любого стационарного процесс  положительно определенные.

Условия, которым удовлетворяют автокорреляции стационарного процесса. Положительная определенность автокорреляционной матрицы (2.1.7) требует, чтобы определитель и все главные миноры этой матрицы были положительны. В частности, для

так что , и, следовательно,

.

Аналогично для   должно выполняться

,

из чего следует

,

,

и т. д. Так как  должна быть положительно определённой для всех , автокорреляции стационарного процесса должны удовлетворять очень большому числу условий. Как будет показано в разд. 2.2.3, все эти условия могут быть объединены в определении спектра.

Стационарность линейных функций. Из определения стационарности следует, что процесс , полученный выполнением линейной операции (2.1.8) над стационарным процессом , так же стационарен. В частности, стационарны первая разность  и высшие разности . Этот результат особенно важен для исследования свойств нестационарных временных рядов, рассматриваемых в гл. 4.

Гауссовские процессы. Если распределение значений процесса для любого множеств моментов времени - многомерное нормальное распределение, процесс называется нормальным, или гауссовским. Так как многомерное нормальное распределение полностью описывается его моментами первого и второго порядков, существование постоянного среднего значения  и автоковариационной матрицы  вида (2.1.7) для всех  достаточно, что бы обеспечить стационарность нормального процесса.

Слабая стационарность. Для того чтобы процесс был строго стационарным, вся его вероятностная структура должна  зависеть только от разностей времен. Менее жесткое требование, называемое слабой стационарностью порядка , заключается в том, чтобы моменты до некоторого порядка  зависели только от разностей времен. Например, существование среднего значения  и автоковариационной матрицы  вида (2.1.7) достаточно для получения стационарности второго порядка. Тогда стационарность второго плюс предположение о нормальности обеспечивают строгую стационарность.