9.3. Некоторые аспекты более общих моделей сезонных

9.3.1. Мультипликативные и немультипликативные модели

В предыдущих разделах мы обсудили методы анализа сезонных временных рядов, и в частности рассмотрели пример мультипликативной модели. Мы видели, что эта модель может хорошо описывать наблюдения с помощью довольно малого числа параметров. Нам остается рассмотреть некоторые другие модели сезонных рядов этого типа и при необходимости связанные с ними процедуры идентификации, оценивания, диагностической проверки и прогнозирования.

Предположим в общем случае, что имеется сезонный эффект с периодом . Тогда общий класс мультипликативных моделей можно описать способом, продемонстрированным  в табл. 9.8. В мультипликативной модели предполагается, что «периодический» ход ряда описывается моделью

,

в то же время «внутри цикла»  связаны соотношением

.

Очевидно, можно изменить порядок рассмотрения моделей и в любом случае прийти к общей мультипликативной модели

,               (9.3.1)

где  — процесс белого шума с нулевым средним значением. Практическая ценность модели (9.3.1) зависит от того, удается ли с ее помощью экономично параметризовать фактические наблюдения. Имеется много примеров удачного использования таких моделей для описания разнообразных сезонных рядов, относящихся к совершенно различным проблемам [80].

Таблица 9.8. Таблица с двумя входами дли мультипликативных моделей сезонных рядов

Все же получить полностью адекватное описание всех сезонных временных рядов при помощи мультипликативных моделей невозможно. Иногда оказывается полезной модификация, оставляющая смешанный оператор скользящего среднего немультипликативным. Это означает, что мы заменяем оператор  в правой части (9.3.1) более общим оператором скользящего среднего . Вместо (или кроме) этого может оказаться необходимым заменить оператор авторегрессии  слева более общим оператором авторегрессии . Некоторые типы немультипликативных моделей приведены в приложении П9.1. Им даны номера 4, 4а, 5 и 5а.

Но даже в тех случаях, когда оказалось необходимым применить немультипликативную модель, из имеющегося опыта следует, что в качестве начального приближения полезна наилучшим образом подогнанная мультипликативная модель; этот прием позволяет построить лучшую немультипликативную модель. Подобная ситуация встречается при использовании таблиц дисперсионного анализа, имеющих два входа, где предположение об аддитивности строк и столбцов может быть верным или неоправданным, но во всех случаях полезно как начальное приближение.

Общая стратегия для привязки мультипликативных или немультипликативных моделей к данным та же, что описана и проиллюстрирована с некоторыми подробностями в разд. 9.2. Руководствуясь видом автокорреляционной функции, приходим к следующему:

1. Применяем к наблюденному ряду разностные операторы  и  для достижения стационарности.

2. По виду автокорреляционной функции разностного ряда выбираем пробную модель.

3. По значениям соответствующих автокорреляций разностного ряда получаем предварительные оценки параметров. Их можно использовать как начальные значения при поиске оценок наименьших квадратов.

4. После подгонки диагностическая проверка остаточных ошибок может либо подтвердить правильность модели, либо указать пути ее улучшения, что приводит к новой подгонке и повторению диагностических проверок.