Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


6.2.3. Идентификация некоторых реальных временных рядов

В этом разделе описанные выше способы идентификации применяются к шести временным рядам, обозначенным . Ряды  показаны на рис. 4.1, ряд Е — на рис. 6.1 и ряд  — на рис. 2.1. Данные для всех этих рядов приведены в сборнике временных рядов в конце этой книги. Ряды А, В, С и D были описаны в гл. 4 и ряд F — в гл. 2. Ряд Е — ряд чисел Вольфа солнечных пятен, каждый его член — это среднегодовое число солнечных пятен за какой-либо год. Как отмечалось в гл. 4, следует ожидать, что ряды А, С и D обладают нестационарными свойствами, так как они представляют собой «нерегулируемое» поведение определенных выходов продукта.

Рис. 6.1. Ряд Е — числа солнечных пятен по Вольфу (1770—1869).

Аналогично можно ожидать, что ряд биржевых цен В не имеет фиксированного уровня. С другой стороны, ряд F скорее всего стационарный, так как он представляет собой вариации выхода партий продукта, получаемых при равномерно регулируемых условиях. Подобным образом можно ожидать, что ряды солнечных пятен равновесны на больших интервалах.

Выборочные автокорреляции , и  для рядов А — F приведены в табл. 6.2. В табл. 6.3 показаны соответствующие выборочные частные автокорреляции. Графическое представление корреляционных функций очень помогает пониманию их поведения; автокорреляции и частные автокорреляции ряда А показаны на рис. 6.2 и 6.3, ряда С — на рис. 6.4 и 6.5.

Для ряда А автокорреляции  малы уже после первой задержки. Это указывает на то, что этот временной ряд может быть описан как процесс ПСС(0,1,1). Однако рассмотрение автокорреляционной функции  показывает, что при задержке больше 1 корреляции спадают довольно монотонно. Следовательно, имеется и другая возможность — что ряд описывается смешанным процессом АРСС(1,0,1). Частная автокорреляционная функция  ведет себя соответствующим этому предположению образом. Позднее мы увидим, что оба предположения приводят по существу к одной и той же модели.

Рис. 6.2. Выборочные автокорреляции различных разностей ряда А.

Автокорреляции ряда С, показанные на рис. 6.4, свидетельствуют о необходимости по меньшей мере одного взятия разностей. Приближенно экспоненциальный спад корреляций первой разности указывает, что процесс имеет порядок (1,1,0) с параметром авторегрессии  С другой стороны, из малости автокорреляций  вытекает, что приемлем и процесс ПСС (0,2,0). К тем же выводам приводит рассмотрение частной автокорреляционной функции. Для отсчетов  приходим к обобщенному оператору авторегрессии второй степени; для  — к оператору авторегрессии первого порядка, действующему на  с; для — к некоррелированному шуму. Отсюда следуют две возможности:

Вторая модель очень похожа на первую, отличаясь только выбором 0,8 вместо 1 для одного из коэффициентов авторегрессии.

При оценке свойств выборочных корреляционных функций весьма полезно проводить «контрольные» линии, параллельные оси абсцисс на уровнях  или . Их должно сопровождать указание имеющейся гипотезы. Так, на рис. 6.5 надпись «пределы  для» на предельных линиях показывает, что использованное значение  приблизительно верно при гипотезе, что процесс — авторегрессия второго порядка. Пробная идентификация каждого из рядов  дана в табл. 6.4.

Рис. 6.3. Выборочные частные автокорреляции ряда А и его двух первых разностей

Рис. 6.4. Выборочные автокорреляции ряда С и его двух первых разностей

Ряд А. Отсчеты концентраций в химическом процессе, каждые 2 часа. Автокорреляции, 197 наблюдений

Задержки

1—10

0,86

0,74

0,62

0,53

0,46

0,41

0,35

0,31

0,27

0,24

 

 

11—20

0,22

0,20

0,18

0,15

0,14

0,13

0,16

0,19

0,21

0,23

Задержки

1—10

—0,05

—0,06

—0,07

—0,08

—0,06

0,00

—0,02

—0,02

—0,03

—0,06

 

 

11—20

—0,01

0,04

0,02

—0,07

—0,03

—0,09

—0,02

0,05

—0,01

0,06

Задержки

1—10

—0,50

0,00

0,00

—0,01

—0,02

0,04

—0,01

0,00

0,01

—0,04

 

 

11—20

0,00

0,04

0,03

—0,06

0,04

—0,06

0,00

0,06

—0,06

0,06

Ряд В. Цены акций IBM к закрытию биржи, ежедневно с 17 мая 1961 г. по 2 ноября 1962 г. Автокорреляции, 369 наблюдений

Задержки

1—10

0,98

0,94

0,90

0,85

0,80

0,75

0,69

0,64

0,58

0,52

 

 

11—20

0,47

0,41

0,36

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

Задержки

1—10

0,80

0,65

0,53

0,44

0,38

0,32

0,26

0,19

0,14

0,14

 

 

11—20

0,10

0,09

0,07

0,07

0,07

0,07

0,09

0,05

0,04

0,04

Задержки

1—10

—0,08

—0,07

—0,12

—0,06

0,01

—0,02

0,05

—0,05

—0,12

0,12

 

 

11—20

—0,12

0,07

—0,08

0,03

—0,01

—0,06

0,17

—0,10

—0,01

—0,02

Ряд С. Отсчеты температур в химическом процессе, каждую минуту. Автокорреляции, 226 наблюдений

Задержки

1—10

0,99

0,99

0,98

0,97

0,96

0,96

0,95

0,94

0,93

0,92

 

 

11—20

0,91

0,91

0,90

0,89

0,88

0,87

0,86

0,85

0,84

0,83

Задержки

1—10

0,09

0,00

-0,05

—0,04

—0,02

0,12

0,07

0,04

—0,07

0,02

 

 

11—20

0,08

0,05

—0,05

0,07

—0,07

0,12

0,12

0,05

0,05

0,07

Задержки

1 — 10

—0,45

—0,02

—0,04

0,00

—0,07

0,11

—0,01

0,04

—0,10

0,02

 

 

11—20

0,04

0,04

—0,12

0,13

—0,17

0,10

0,05

—0,04

—0,01

0,09

Ряд D. Отсчеты вязкости химического процесса, каждый час. Автокорреляции, 310 наблюдений

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Задержки

1—10

0,57

0,50

0,40

0,36

0,33

0,35

0,39

0,32

0,30

0,26

 

 

11—20

0,19

0,16

0,20

0,24

0,14

0,18

0,20

0,20

0,14

0,18

Задержки

1—10

—0,41

0,02

—0,07

—0,01

—0,07

—0,02

0,15

—0,07

0,04

0,02

 

 

11—20

—0,05

—0,06

—0,01

0,16

—0,17

0,03

0,01

0,08

—0,12

0,15

Задержки

1-10

—0,65

0,18

—0,04

0,04

—0,04

—0,04

0,13

—0,11

0,04

0,02

 

 

11—20

—0,02

—0,02

—0,04

0,18

—0,19

0,08

—0,03

0,09

—0,17

0,20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Е. Числа солнечных пятен по Вольфу, каждый год.  Автокорреляции, 100 наблюдений

Задержки

1—10

0,996

—0,09

0,01

0,05

0,02

0,02

—0,12

—0,05

—0,02

0,06

 

 

11—20

—0,05

—0,09

—0,03

0,07

—0 08

0,06

—0,14

—0,10

—0,01

—0,08

Задержки

1—10

0,09

—0,01

—0,05

—0,03

—0,02

0,13

0,05

0,02

—0,06

0,05

 

 

11—20

0,09

0,03

—0,08

0,08

—0,06

0,14

0,10

0,00

0,07

0,08

Задержки

1—10

—0,45

—0,28

—0,24

—0,20

—0,29

—0,17

—0,13

—0,03

—0,14

—0,16

 

 

11—20

—0,09

0,02

—0,13

0,01

—0,19

—0,13

—0,03

—0,10

—0,10

0,06

Ряд F. Выход продукта циклического химического процесса. Автокорреляции, 70 наблюдений

Задержки

1-10

0,57

0,25

0,08

0,09

0,07

0,15

0,19

—0,03

0,01

—0,01

 

 

11—20

—0,09

—0,04

0,04

0,08

—0,15

0,06

0,13

0,09

—0,06

0,07

Задержки

1-10

—0,41

—0,19

—0,17

—0,14

—0,20

—0,23

0,01

—0,04

—0,01

0,06

 

 

11—20

0,02

—0,07

—0,10

0,13

—0,09

—0,15

-0,11

0,04

—0,08

0,12

Задержки

1—10

—0,66

—0,43

—0,33

—0,23

—0,20

—0,36

—0,23

—0,21

—0,23

—0,16

 

 

11—20

—0,07

—0,04

—0,25

0 00

0,04

—0,02

—0,16

—0,03

—0,22

—0,03

Таблица 6.3. Выборочные частные автокорреляции рядов А— F.

Ряд А. Отсчеты концентраций в химическом процессе, каждые 2 часа. Частные автокоррекции, 197 наблюдений.

Задержки

1—10

—0,39

0,30

—0,17

0,07

-0,10

—0,05

0,04

—0,04

—0,01

0,01

 

 

11—20

0,11

—0,07

0,15

0,04

—0,01

0,17

—0,11

0,02

—0,05

0,02

Задержки

1—10

—0,74

0,43

—0,27

0,16

—0,10

0,01

0,05

—0,05

0,04

—0,05

 

 

11—20

0,11

—0,16

0,12

—0,01

—0,08

0,16

—0,14

0,08

—0,07

0,03

Задержки

1—10

—0,83

0,54

—0,33

0,21

—0,12

0,03

0,04

—0,06

0,06

—0,07

 

 

11—20

0,12

—0,16

0,11

0,00

—0,10

0,16

—0,15

0,10

—0,07

0,03

Ряд В. Цены акций 1ВМ к закрытию биржи, ежедневно с 17 мая 1961 г. по 2 ноября 1962 г. Частные автокорреляции, 369 наблюдений.

Задержки

1—10

0,81

0,43

0,07

—0,17

—0,27

—0,21

—0,04

0,16

0,33

0,41

 

 

11—20

0,39

0,^9

0,14

0,02

—0,06

—0,10

—0,14

—0,18

—0,17

—0,10

Задержки

1—10

0,55

—0,02

—0,30

—0,40

—0,40

—0,33

—0,20

0,04

0,26

0,31

 

 

11—20

0,29

0,16

—0,03

—0,12

—0,10

—0,09

—0,09

—0,12

—0,14

—0,05

Задержки

1—10

0,15

—0,31

—0,20

—0,11

—0,09

—0,02

—0,11

—0,04

0,19

0,05

 

 

11—20

0,13

0,09

—0,10

—0,11

0,04

0,01

0,00

—0,03

—0,10

—0,04

Ряд С. Отсчеты температур в химическом процессе, каждую минуту. Частные автокорреляции, 226  наблюдений.

Задержки

1—10

—0,40

0,19

0,01

—0,07

—0,07

—0,15

0,05

0,00

—0,10

0,05

 

 

11—20

0,18

—0,05

0,09

0,18

0,01

0,43

0,01

—0,14

0,11

0,18

Задержки

1—10

—0,76

—0,32

—0,19

—0,16

—0,09

—0,24

—0,15

—0,06

—0,18

—0,28

 

 

11—20

—0,02

—0,16

—0,24

—0,06

—0,44

—0,02

0,12

—0,12

—0,17

—0,24

Задержки

1 — 10

—0,83

—0,52

—0,38

—0,33

—0,15

—0,24

—0,26

—0,14

—0,09

—0,31

 

 

11—20

—0,12

—0,09

—0,26

0,08

—0,38

-0,39

—0,07

—0,05

—0,03

—0 30

Ряд D. Отсчеты вязкости в химическом процессе, каждый час. Частные автокорреляции, 310 наблюдений.

Задержки

1 — 10

0,81

—0,71

0,21

—0,15

0,10

0,10

0,18

0,23

0,01

0,00

 

 

11—20

0,14

—0,16

0,12

0,03

—0,08

—0,14

—0,06

—0,12

0,00

0,05

Задержки

1 — 10

0,57

—0,48

—0,06

—0,27

—0,22

—0,26

—0,29

—0,05

—0,02

—0,16

 

 

11—20

0,13

—0,15

—0,04

0,06

0,12

0,02

0,07

—0,06

—0,09

—0,06

Задержки

1—20

0,15

—0,35

—0,10

—0,21

—0,16

—0,17

—0,36

—0,26

—0,09

—0,33

 

 

11—20

—0,02

—0,13

—0,20

—0,21

—0,10

—0,13

0,00

0,03

—0,01

—0,08

Ряд Е. Числа солнечных пятен по Вольфу, каждый год. Частные автокорреляции, 100 наблюдений

 

Задержки

1 — 10

0,86

—0,02

0,00

0,01

0,03

0,03

—0,02

0,01

0,00

0,01

 

 

11—20

0,05

0,01

—0,04

—0,03

0,07

0,04

0,10

0,06

0,00

0,06

Задержки

1—10

—0,05

—0,06

—0,07

—0,09

—0,08

—0,03

—0,05

—0,05

—0,05

—0,09

 

 

11—20

—0,05

0,01

—0,01

—0,10

—0,07

—0,13

—0,09

—0,02

—0,08

0,00

Задержки

1 — 10

—0,50

—0,32

—0,24

—0,20

—0,22

—0,16

—0,14

—0,11

—0,07

—0,12

 

 

11—20

—0,15

—0,12

—0,02

—0,06

—0,01

-0,07

—0,12

—0,06

—0,13

—0,07

Ряд F. Выход продукта циклического химического процесса. Частные автокорреляции, 70 наблюдений.

Задержки

1—10

0,99

—0,81

—0,03

—0,02

—0,10

—0,07

—0,01

—0,03

0,04

—0,04

 

 

11—20

—0,15

0,10

—0,14

0,01

—0,10

—0,02

—0,07

—0,11

0,11

—0,13

Задержки

1-10

0,81

—0,01

—0,01

0,06

0,03

—0,03

—0,01

—0,08

0,00

0,10

 

 

11—20

—0,14

0,10

—0,05

0,05

0,02

0,06

0,06

—0,17

0,09

0,00

Задержки

1—10

—0,08

—0,08

—0,14

-0,10

—0,03

—0,05

0,02

—0,06

—0,16

0,09

 

 

11—20

—0,14

0,01

—0,09

—0,02

—0,05

—0,09

0,13

—0,13

—0,03

—0,05

Рис. 6.5. Выборочные частные автокорреляции ряда С и его двух первых разностей.

Таблица 6.4. Пробная идентификация моделей рядов

Ряд

Степень

разности

Кажущаяся природа разность ряда

Идентификация для

A

Смешанный АР первого порядка и СС первого порядка

СС первого порядка

(1, 0, 1)

 

(0, 1, 1)

B

1

СС первого порядка

(0, 1, 1)

C

АР первого порядка

Некоррелированный шум

(1, 1, 0)

(0, 2, 2)

D

АР первого порядка

Некоррелированный шум

(1, 0, 0)

(0, 1, 1)

E

АР второго порядка

АР третьего порядка

(2, 0, 0)

(3, 0, 0)

F

0

АР второго порядка

(2, 0, 0)

Нужно остановиться на трех других вопросах, связанных с процедурой такой идентификации.

1) Простое взятие разностей, которым мы пользуемся, не дает стационарности в рядах, содержащих сезонные компоненты. В гл. 9 мы обсудим подходящие модификации исследования таких рядов.

2) Как обсуждалось в гл. 4, ненулевое значение  в (6.1.1) указывает на существование систематического полиномиального тренда степени . Для нестационарных моделей в табл. 6.4 значение  вполне приемлемо для описания поведения ряда. Однако иногда могут существовать реальные физические явления, требующие введения ненулевого . В других случаях может быть неясно, необходим ли такой член. Некоторые основанные на наблюденных данных указания о необходимости включения  в модель можно получить на этапе идентификации, сравнивая среднее значение  ряда с его приближенной стандартной ошибкой, найденной по формуле .

3) В разд. 3.4.2 отмечалось, что для любого процесса АРСС  с  вся положительная половина автокорреляционной функции будет суперпозицией затухающих синусоид и экспонент. Это, конечно, не мешает нам пробно идентифицировать , так как а) частная автокорреляционная функция примет  «аномальных» значений, прежде чем начнет вести себя как частная автокорреляция процесса СС; б)  должно быть таким, что автокорреляционная функция могла бы, согласно общему правилу, принимать в качестве начальных значений величины от  до .

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>