6.3.4. Начальные оценки для смешанных процессов авторегрессии — скользящего среднего

В дальнейшем часто будет обнаруживаться, что либо сразу,  либо после взятия нужного числа разностей ряд  будет наиболее экономично описываться смешанным процессом АРСС

В разд. 6.2.1 отмечалось, что указанием на смешанный процесс является тот факт, что автокорреляционная и частная автокорреляционная функции затухают. Другой факт, выражаемый формулами (3.4.3) и помогающий идентифицировать смешанный процесс, заключается в том, что после  задержек теоретические автокорреляции удовлетворяют разностному уравнению для чисто авторегрессионного процесса . В частности, если автокорреляционная функция -й разности спадает экспоненциально (если не считать искажения в ), следует предположить, что процесс имеет порядок , т.е.

                                                  (6.3.10)

где

Приближенные значения параметров процесса (6.3.10) получены подстановкой выборочных оценок  и  вместо  и   в выражения (3.4.8) и приведены в табл. 6.1. Здесь

Диаграмма  в конце этой книги связывает  и   и может быть использована для получения начальных оценок параметров любого процесса .

Например, рассмотрим опять ряд , который был идентифицирован как процесс порядка (0,1,1) с . Рассматривая автокорреляционную функцию от (а не от , что менее удобно), мы видим, что начиная с  автокорреляции затухают примерно экспоненциально, хотя и довольно медленно. Отсюда следует другая возможная идентификация ряда  как стационарного процесса порядка (1,0,1). Выборочные автокорреляции и соответствующие начальные оценки параметров равны при этом:

Эта идентификация дает приближенную модель порядка (1,0,1):

в то время как ранее идентифицированная модель порядка (0,1,1), приведенная в табл. 6.5, имела вид

Мы видим, что опять альтернативные модели очень близки.

Более общий метод получения начальных оценок параметров для смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего приведен в приложении П6.2.

Взаимная компенсация операторов авторегрессии и скользящего среднего. Альтернативные модели, идентифицированные выше, на самом деле еще более похожи, чем это кажется. Это вызвано тем, что малые изменения оператора авторегрессии смешанной модели могут быть почти точно скомпенсированы соответствующими изменениями оператора скользящего среднего. В частности, если мы имеем модель

,

где  мало и положительно, мы можем получить

члены с  порядка.