11.5.1. Прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой

Теперь (11.5.1) можно записать как

,                                   (11.5.3)

где  и  статистически независимы. Рассуждая, как в разд. 5.1.1, представим прогноз  значения ряда  сделанный в момент , как

.

Тогда

и

последнее достигает минимума, только если  и . Таким образом, прогноз  величины  в момент  с минимальной среднеквадратичной ошибкой определяется как условное математическое ожидание  в момент . Теоретически это математическое ожидание берется при условии, что известны значения ряда, начиная с бесконечно удаленного прошлого вплоть до настоящего момента . Как и в гл. 5, эти результаты практически полезны, поскольку обычно прогноз существенно зависит только от недавних прошлых значений  и .

Вычисление прогнозов. Можно представить (11.5.1) в виде

,

или в иных обозначениях

.

Обозначая условные математические ожидания в момент  квадратными скобками и приняв  получаем выражения для прогноза с упреждением

   (11.5.4)

где

         (11.5.5)

и  вычисляется по (11.5.1) или для  как

.

Тогда после соответствующих подстановок прогноз с минимальной квадратичной ошибкой легко вычислить непосредственно, пользуясь формулами (11.5.4) и (11.5.5). Прогнозы  легко найти обычным способом (см. разд. 5.2), используя модель (11.5.2).

Дисперсия прогноза. Веса  и  в (11.5.3) можно получить в явном виде, приравнивая коэффициенты в

и в

.

Дисперсия прогноза с упреждением  равна

.      (11.5.6)

Прогнозы как линейная комбинация предшествующих наблюдений. В каждом примере полезно изучить, каким способом прогнозы будущих значений  используют предшествующие значения  и .

В разд. 5.3.3 было показано, как можно представить прогнозы в виде линейных комбинаций предшествующих значений ряда. Прогнозирование упреждающего индикатора мы можем выполнить по формуле

.                                             (11.5.7)

Веса  появляются, если модель (11.5.2) представлена в виде

;

их явные выражения можно получить, приравнивая коэффициенты в уравнении

.

Используя также (5.3.9), получаем

,                         (11.5.8)

Действуя тем же способом, мы можем представить модель передаточной функции (11.5.1) в виде

,      .  (11.5.9)

Следует отметить, что если передаточная функция, связывающая упреждающий индикатор  и выход , такова, что  при , то  в (11.5.9) будут равны нулю. Формулу (11.5.9) можно теперь записать иначе:

.

Сравнение с (11.5.1) показывает, что веса  и  можно получить, приравнивая коэффициенты в выражениях

,

.

Заменяя  на  в (11.5.9) и переходя к условным математическим ожиданиям в момент , получаем выражение для прогноза с упреждением  вида

.      (11.5.10)

Рис. 11.9. Прогноз выхода  из газовой печи по входному и выходному рядам.

Прогноз на шаг вперед имеет вид

.

Величины в квадратных скобках в (11.5.10) —это или известные значения рядов  к , или прогнозы, являющиеся линейными функциями этих известных величин.

Итак, прогнозы можно записать в виде линейных комбинаций значений членов ряда, известных к моменту времени , в виде

,                    (11.5.11)

где коэффициенты ,  можно вычислить по рекуррентным формулам

    (11.5.12)