4. Моделирование инерционных нелинейных функциональных замкнутых систем

Сложнее обстоит дело с цифровым моделированием замкнутых функциональных нелинейных систем (системы III класса).

Пример 2. Рассмотрим нелинейную систему, показанную на рис. 3.8, а, у которой нелинейный элемент стоит в прямой цепи петли обратной связи. Положим, что линейный фильтр с передаточной функцией  является системой второго порядка. Заменив этот фильтр дискретным фильтром (рис. 3.8, б) с передаточной функцией

,

получим следующие уравнения, описывающие преобразования сигнала  в эквивалентной дискретной нелинейной системе:

               (3.106)

Поскольку вычисления производятся рекуррентно, все величины в последнем уравнении в (3.106), кроме , можно считать известными. Поэтому для нахождения интересующего нас неизвестного значения  требуется решить относительно  нелинейное уравнение

,                                 (3.107)

где .

Уравнение (3.107) требуется решать на каждом шаге. Наиболее общим методом решения является метод итераций. Для простых нелинейностей решение этого уравнения иногда удается записать в виде формулы, например, если , то

или

,

где .

Отсюда

.

Таким образом, приходим к выводу, что особенностью цифровой модели данной нелинейной системы, содержащей нелинейный элемент в замкнутом контуре, является необходимость решать на каждом шаге нелинейное алгебраическое уравнение при условии, если линейные динамические звенья системы моделируются с помощью рекуррентных уравнений. Нетрудно убедиться, что такое положение всегда имеет место при цифровом моделировании замкнутых функциональных нелинейных систем.

Необходимость решения нелинейных уравнений усложняет цифровые модели замкнутых нелинейных систем по сравнению с цифровыми моделями разомкнутых нелинейных систем. Это затруднение легко обойти, если в цепь обратной связи эквивалентной импульсной системы ввести дополнительно элемент задержки на один период (рис. 3.8, в). Тогда необходимость решения уравнения вида (3.107) отпадает, и цифровая модель замкнутой нелинейной системы оказывается почти столь же простой, как и модель разомкнутой системы.

Действительно, уравнение (3.107) в этом случае принимает вид

.                            (3.108)

Вычисление текущего значения сигнала на выходе замкнутой системы по уравнению (3.108) сводится к нелинейному преобразованию известных () и заранее вычисленных () величин.

Следует заметить, что введение элемента запаздывания вносит дополнительную погрешность в цифровою модель. Однако при достаточно, малом шаге дискретизации влияние этой погрешности практически незначительно. При  эквивалентная дискретная система с элементом задержки (рис. 3.8, в) так же, как и эквивалентная дискретная система без элемента задержки (рис. 3.8, б), совпадает с исходной непрерывной системой (рис. 3.8, а).

Рис. 3.8

В настоящее время не представляется возможным дать некоторые единые рекомендации для выбора шага дискретизации , при котором можно пренебречь влиянием элемента запаздывания на величину погрешности моделирования. Это обусловлено как большим разнообразием нелинейных систем, так и недостаточной изученностью рассматриваемого вопроса. Опыт моделирования замкнутых нелинейных систем радиоавтоматики (следящих координаторов), содержащих один нелинейный элемент с характеристикой нелинейности в виде дискриминационной кривой, показал, что влияние элемента запаздывания практически не ощущается при , где  — постоянная времени замкнутой следящей системы в линейном режиме (см. § 4.3). Это соотношение, по-видимому, можно использовать для ориентировочного выбора шага дискретизации и при моделировании других замкнутых нелинейных систем.

Увеличения точности при заданном шаге дискретизации в системе с элементом задержки можно достичь, используя метод фирмы IВМ, основанный на сочетании метода корневых годографов с методом  - преобразования или же метод квазилинеаризации. Примеры применения этих методов даны в [109].