6.2.6. Формирование луча в частотном пространстве

Оба рассмотренных формирователя (формирователь по методу взвешенного суммирования и задержки и формирователь по методу фильтрации и суммирования) выполняют операции над сигналами как функциями времени. Сигналы индивидуальных приемников задерживаются, фильтруются и складываются друг с другом. В противоположность этому формирователь в частотном пространстве создает диаграмму луча путем выполнения необходимых задержек, фильтрации и операций суммирования в частотной области с использованием преобразования Фурье. Например, если обозначить через  спектр Фурье сигнала приемника , то задержку  на  можно реализовать в частотной области умножением спектра  на вектор на комплексной плоскости . Аналогично взвешивание  с помощью  можно осуществить с помощью операции умножения  или, в более общем виде, фильтрацию  с помощью импульсного отклика  можно выполнить путем умножения . Используя эти операции в частотной области, мы можем сформировать (по крайней мере в принципе) спектр Фурье выхода формирователя луча по методу взвешенного суммирования и задержки в виде

,                              (6.37)

а спектр Фурье выхода формирователя луча по методу фильтрации и задержки в виде

.                       (6.38)

Компонента выхода формирователя луча при частоте  описывается функцией , а полный выход формирователя луча получается путем интегрирования всех компонент по частоте

.                                    (6.39)

Если применить те же соображения к выражению (6.38), получим

.                                     (6.40)

На практике спектр  нам недоступен, его вычисление требует интегрирования по всей временной оси. Однако можно вычислить преобразование Фурье для сегмента , наложив на  окно конечной ширины . Определим текущий спектр Фурье [8] в виде

.                           (6.41)

Пределы интегрирования здесь фактически конечны, поскольку функция окна  затухает вне ограниченного интервала. Функция  будет хорошим приближением к спектру , если спектр Фурье  функции окна относительно узок.

Выход формирователя луча в частотной области определяется следующим образом:

.                    (6.42)

Его можно интерпретировать как некоторую аппроксимацию компоненты формирователя луча . Тогда аппроксимацию выходного сигнала формирователя луча можно получить путем интегрирования функции  по частоте. [Более общее выражение для выходного сигнала формирователя луча в частотном пространстве можно получить из выражения (6.38), но мы этого здесь делать не будем.] При зафиксированном параметре  функцию  можно рассматривать как выходной сигнал операции формирования луча, выполненной по отношению к компонентам сигнала приемника при частоте . В этом формирователь луча в частотной области подобен формирователю по методу фильтрации и суммирования с фиксированными узкополосными фильтрами. Ниже в разд. 6.3.3 будет показано, что реализация в частотном пространстве имеет вычислительные преимущества при одновременном формировании нескольких лучей [9].

С помощью алгебраических преобразований можно выразить  через спектр по волновому числу и частоте . Используя соотношения

,                       (6.43)

,                                                                                  (6.44)

,                                                                                        (6.45)

,                                                     (6.46)

и

,                                                           (6.47)

можно получить

.                 (6.48)

Если мы положим диаграмму направленности  и спектр окна  равными нулю всюду, за исключением узкой области, где их относительные аргументы близки к нулю, множитель  в уравнении (6.48) будет равен нулю всюду, за исключением области -пространства, где  и . Это качественно иллюстрируется рис. 6.7, на котором горизонтальная полоска представляет собой область ненулевых значений множителя , а вертикальная – область ненулевых значений множителя . Пересечение этих двух полосок, обозначенное заштрихованным прямоугольником, является единственной областью -пространства, в которой компоненты  не ослаблены операцией формирования луча. Компоненты, содержащиеся внутри этого прямоугольника, как раз и дают вклад в выход формирователя луча .

Рис. 6.7. Вклад в выход формирователя луча в частотной области дает небольшая область -пространства, обозначенная заштрихованным прямоугольником.