6.3. Формирование луча в дискретном времени

До сих пор во всех наших выкладках мы рассматривали время как непрерывную переменную. Однако, если системы формирования луча реализуются с помощью цифровой техники, необходима дискретизация сигналов во времени. Следовательно, нужно исследовать смысл выполнения операций формирования луча на дискретных по времени сигналах. Мы будем использовать обозначения, аналогичные обозначениям первой части настоящей главы. Например, сигнал, принятый -м приемником, будет обозначаться через . Разница состоит в том, что переменная  будет рассматриваться как целочисленная величина из набора значений, определяемых периодом дискретизации: , так что  является сигналом с дискретным временем. Для простоты в некоторых случаях мы будем полагать . Другие переменные, зависящие от времени, например скорость распространения , будут также переопределены с использованием в качестве единицы времени не секунды, а периода дискретизации .

Естественно, остаются в силе предосторожности, относящиеся к дискретным по времени сигналам и системам. Скорость дискретизации должна быть достаточно большой, чтобы не возникло наложения. Спектры дискретных временных сигналов будут периодичными и т. д.

6.3.1. Формирование луча во временной области для сигналов, дискретных во времени

Когда сигнал приемника  дискретен по времени, задержки наведения , используемые во временном формирователе луча, должны быть целыми числами, кратными периоду дискретизации . Следовательно, дискретизованный во времени вариант формирователя луча по принципу взвешенного суммирования и задержки можно в дискретном времени описать функцией

,                                        (6.49)

где - задержка наведения -го датчика.

Конечно, в идеальном случае задержки наведения должны быть равны -  в соответствии с выражением (6.11). Однако, поскольку числа  обязаны быть целыми, идеальные задержки наведения в общем случае будут квантованными. Если обозначить через  идеальные задержки, то можно определить ошибки, связанные с квантованием по времени:

.                                                                       (6.50)

Эти ошибки приводят к возмущению диаграммы направленности. Из-за квантования задержек отклик формирователя по принципу взвешенного суммирования и задержки на плоскую волну с вектором замедленности , определяемый выражением (6.23), принимает вид

.           (6.51)

Понять влияние квантования задержек наведения поможет упрощенный пример. Как и раньше, примем, что приемники равномерно расположены по оси , так что вектор положения  задается упорядоченным триплетом  и что  для всех  приемников.

Если луч наведен перпендикулярно решетке , то значения как , так и  будут равны нулю для всех приемников. Следовательно, значения  также равны нулю, а функция  не возмущена. Аналогично, когда луч наведен так, что , мы получим

,                                                            (6.52)

при этом  и значения  вновь равны нулю для всех приемников.

Однако если луч наведен так, что , то  и  равны наибольшему целому числу, меньшему или равному . В этом случае ошибки наведения равны:

                                                      (6.53)

как показано на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Квантованные задержки наведения. – - идеальные задержки наведения;  - квантованные задержки наведения.

Для этого случая сумму в выражении (6.51) можно разделить на четные и нечетные слагаемые:

                                    (6.54)

После некоторых алгебраических преобразований получим

,                                                                               (6.55)

где

,           (6.56а)

.                                                                    (6.56б)

Амплитуда  как функция  представлена на рис. 6.9,а для выбранных параметров , ,  и . На рис. 6.9,б показано значение идеального частотного отклика с неквантованными задержками наведения. Идеальный отклик описывается выражением

.             (6.57)

Рис. 6.9. Пример влияния квантования задержек наведения на формирование луча по волновому числу и частоте. а – квантованный формирователь луча; б – идеальный формирователь луча.

Отклик меняется для каждого значения . Поскольку функция  зависит от , то она будет сдвигаться вправо или влево с увеличением или уменьшением  соответственно. Однако функция  с изменением  не сдвигается. Следовательно, диаграмма направленности  как функция  может существенно отклоняться от идеальной при различных значениях .

Этот пример иллюстрирует еще одно положение. Благодаря применению дискретных задержек наведения датчики с одинаковыми задержками наведения можно объединить. Датчики 0 и 1 имеют нулевую задержку, датчики 2 и 3 задержаны на один отсчет , датчики 4 и 5 задержаны на два отсчета и т. д. Следовательно, решетку можно представить себе состоящей из  приемников, расположенных в точках , ,  и т. д. Каждый приемник состоит из двух всенаправленных датчиков, сигналы которых складываются без относительной задержки во времени.

Решетка из  приемников обладает диаграммой направленности, описываемой выражением

.                                                   (6.58)

Вспомним, что в этом примере  и . Тогда

                    (6.59)

Каждый приемник в свою очередь представляет собой субрешетку из двух датчиков, выходы которых складываются без какой-либо относительной задержки. Поэтому каждый приемник имеет диаграмму направленности, описываемую выражением

.                     (6.60)

Таким образом, результирующая диаграмма направленности есть произведение диаграмм направленности  приемников (6.59) и субрешетки (6.60).

Это свойство имеет практическую ценность, поскольку реальные сейсмические и сонарные решетки зачастую выполняются из субрешеток датчиков, соединенных между собой непосредственно. Кроме того, реальные датчики не обязательно должны быть идеально всенаправленными, их частотный отклик в -пространстве помогает сформировать суммарную диаграмму направленности надлежащим образом.

Ранее при вычислении сигнала формирователя луча  мы полагали, что сигнал приемника  равен . Однако в приведенном выше примере, как и в общем случае, сигнал каждого приемника описывается выражением

,                                                                            (6.61)

где  - обратное преобразование Фурье отклика датчика по волновому вектору-частоте . Применяя к этому выражению многомерную теорему о свертке, получим

.                        (6.62)

Выход формирователя луча по принципу взвешенного суммирования и задержки по-прежнему описывается выражением

.                                                                                (6.63)

Объединяя эти две формулы, получим

.         (6.64)

Выражение в фигурных скобках - это диаграмма направленности , которая получилась бы для всенаправленных приемников, т. е. если бы функция  равнялась единице. Тогда выход формирователя луча можно записать в виде

.                 (6.65)

Сравнивая этот результат с формулой (6.16), мы видим, что результирующая диаграмма направленности есть произведение .