5.5.1. Общие методы минимизации

Общие методы минимизации, упомянутые в разд. 5.4, можно использовать и для минимизации ошибки в частотной области. Обычно ошибка суммируется по конечному числу отсчетов в частотной области вместо интегрирования по квадрату . Далее, обычно отсчеты распределены равномерно, поэтому для вычисления  по  можно использовать двумерное БПФ. Наконец, если проектировщик хочет указать частоты, на которых особенно важно обеспечить малость ошибки аппроксимации, в функционал ошибки можно включить неотрицательную весовую функцию. Таким образом, для случая среднеквадратичной ошибки задача сводится к минимизации функционала ошибки аппроксимации

,                    (5.114)

где  - весовая функция;  - значения частот, для которых должна быть проведена минимизация, и, как и ранее, мы молчаливо предположили для удобства, что .

Для решения этой задачи можно использовать идею линеаризации, которая обсуждалась в предыдущем разделе. Для обозначения параметров фильтра мы, как и ранее, используем вектор , а для обозначения их возмущений - вектор . Вводя обозначение

                                                                      (5.115)

для описания отклика фильтра, если значения его параметров определяются вектором , можно провести линеаризацию

,                                                                      (5.116)

где  - вектор градиента, состоящий из частных производных

,                                 (5.117а)

.               (5.117б)

Теперь значение  (выражение (5.114)1, отвечающее набору параметров , можно приблизительно записать в виде

.                           (5.118)

Если продифференцировать это выражение по  и приравнять результат нулю, то мы получим систему линейных уравнений вида

,                                                                      (5.119)

которую необходимо решить относительно . В этом случае  определяет градиент функции (5.114), а -й элемент матрицы  равен

,                               (5.120)

где  и  представляют -й и -й компоненты вектора параметров  соответственно. На каждой итерации решается уравнение (5.119) с целью нахождения нового вектора возмущений . [На практике вектор  умножается на положительный скалярный параметр размера шага , подобранный так, чтобы обеспечить условие .] Для минимизации функционала  можно использовать и другие методы оптимизации.

В некоторых случаях может оказаться удобным выполнять операции минимизации последовательно на подмножествах параметров фильтра на каждой итерации. Например, в рамках одной итерации можно с целью уменьшения  варьировать коэффициенты числителя  при постоянных коэффициентах знаменателя , а затем варьировать коэффициенты знаменателя  при постоянных коэффициентах числителя . В результате уменьшается число параметров, изменяемых в каждый данный момент времени, что может привести к снижению числа арифметических операций и погрешности вычислений.

Используя эти методы синтеза в частотной области, нельзя быть уверенным в том, что результирующий фильтр будет устойчив. Если в результате получился неустойчивый фильтр, его следует либо стабилизировать способами, описанными в разд. 5.7, либо от него отказаться. Чтобы избежать такой ситуации, были предложены алгоритмы синтеза с учетом условия устойчивости в качестве ограничения. Один из таких алгоритмов будет рассмотрен в разд. 5.5.3.