КООРДИНАТЫ

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В XIV в. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту. Такую систему координат стали называть декартовой. Точку  пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые – осями координат, ось  – осью абсцисс, а ось  – осью ординат. Числа  называют декартовыми координатами точки . Точка плоскости – геометрический объект – заменяется парой чисел , т.е. алгебраическим объектом. Принадлежность точки заданной кривой теперь соответствует тому, что числа  и  удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке  удовлетворяют уравнению  (рис. 1).

Рис. 1

Для определения положения точки в пространстве требуется введение третьей оси – оси аппликат (рис. 2). Таким образом, положение точки в пространстве будет уже задаваться тремя числами.

Рис. 2

Особенно просто описываются в декартовых координатах прямые и плоскости. Так, уравнение любой прямой на плоскости в декартовой системе координат записывается в виде: , и наоборот, всякому такому уравнению, у которого числа  и  одновременно не являются нулями, удовлетворяют точки некоторой прямой.

Числа  и  имеют важный геометрический смысл: вектор с координатами  перпендикулярен соответствующей прямой (рис. 3). Следует, что если у двух прямых  и  коэффициенты при переменных пропорциональны:

,

то эти прямые параллельны, поскольку параллельны перпендикулярные им векторы  и . А если эти прямые перпендикулярны, то соответствующие им векторы также будут перпендикулярны, а следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:

.

Рис. 3

В пространстве уравнение  описывает плоскость, если не все коэффициенты  и  равны нулю. Аналогично вектор  перпендикулярен этой плоскости. Отсюда получаем условия параллельности двух плоскостей  и :

и условие их перпендикулярности: .

Прямая в пространстве может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей и, следовательно, может описываться парой уравнений плоскостей, и, наоборот, точки, удовлетворяющие одновременно двум уравнениям:

,

лежат на прямой, если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. эти плоскости не параллельны.

Существует и другой способ описания прямой в декартовых координатах. Для этого выбираются точка , лежащая на этой прямой, и вектор , параллельный данной прямой (он называется направляющим вектором прямой). Тогда все точки этой прямой удовлетворяют соотношениям:

Каждому значению числа  (оно называется параметром, а поэтому и запись называется параметрическим заданием прямой) соответствует некоторая точка этой прямой. Если вектор  имеет единичную длину, то модуль числа  равняется расстоянию соответствующей точки до начальной точки .

В соответствии с геометрическим смыслом чисел  и  и здесь можно аналогично написать алгебраические условия перпендикулярности и условия параллельности прямых через координаты их направляющих векторов.

Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и ее приложений.

Кривые и поверхности, определяемые ранее геометрически, получили описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях, например гиперболические функции.

Существуют на плоскости и другие системы координат, например полярная система координат. Чтобы ее ввести, выбирают начальную точку , называемую полюсом, поэтому система и называется полярной. Из этой точки проводят луч, называющийся полярной осью. Чтобы определить координаты точки на плоскости, ее соединяют отрезком с полюсом и вычисляют длину этого отрезка и угол между ним и полярной осью (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, каждой точке  плоскости сопоставляется пара чисел . Но если в декартовой системе координат эта пара определялась однозначно, то в полярной системе число  определено уже неоднозначно: парам чисел  соответствует одна и та же точка при любом целом числе . Направление полярной оси можно выбирать произвольно. Так, географы предпочитают направление полярной оси на север и соответствующий полярный угол называют азимутом, а артиллеристы отсчитывают азимут от направления на юг.

Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. Достаточно задать одно число – расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки.

А сколько координат зададут положение точки в пространстве? Естественно, три. Эти три числа можно получить, например, так. Соединим мысленно лучом центр Земли и нашу точку и рассмотрим широту и долготу пересечения луча с поверхностью Земли и расстояние от точки до центра Земли. Такая система координат называется сферической. Можно поступить по-другому. Выберем некоторую плоскость и введем на ней полярную систему координат, а нашей точке сопоставим полярные координаты ее проекции на эту плоскость и расстояние от нее до плоскости, взятое со знаком «плюс» для одной половины пространства и со знаком «минус» - для другой; так мы получим цилиндрическую систему координат.

Сферической системой координат обычно пользуются на аэродромах. Рядом с аэродромом ставят радиолокатор. Этот прибор определяет расстояние до самолета, угол, под которым самолет виден над горизонтом, и угол между направлением на самолет и направлением на север, т. е. определяет его сферические координаты.

РЕНЕ ДЕКАРТ (1596-1650) Декарт далеко не сразу нашел свое место в жизни. Дворянин по происхождению, окончив коллеж в Лa-Флеше, он с головой окунается в светскую жизнь Парижа, затем бросает все ради занятий наукой. Декарт неторопливо продумывает контуры своего будущего учения – аналитического метода познания мира. Он накапливает жизненный опыт, несколько лет проводит в путешествиях. Декарт стремился и в философии и в любой другой науке найти математические законы, свести каждый вопрос или каждую задачу к математической. Он хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому овладевшему им решить любую задачу. В 1637 г. в Лейдене выходит 4 тома его «Философских опытов». Последний том назывался «Геометрия». Декарт отводил математике особое место в своей системе, он считал ее принципы установления истины образцом для других наук. Главное достижение Декарта – построение аналитической геометрии (термин предложил И. Ньютон, см. Геометрия), в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. Нужно отметить, что у Декарта в точном виде еще не было того, что сегодня называется декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевел на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой (см. Геометрические построения), затем обнаружил, что любимые древними конические сечения – это то же самое, что кривые второго порядка, т.е. с алгебраической точки зрения следующий по сложности за прямыми (кривыми первого порядка) класс кривых. При переходе на алгебраический язык многие трудные геометрические задачи становятся почти тривиальными. Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, сохранившихся до наших дней: латинских букв  – для неизвестных;  – для коэффициентов,  – для степеней. Он сформулировал основную теорему алгебры: «число корней алгебраического уравнения равно его степени», доказательство которой было получено лишь в конце XVIII в. К. Ф. Гауссом. Интересы Декарта не ограничиваются математикой, а включают механику, оптику, биологию. В 1649 г. Декарт после долгих колебаний переезжает в Швецию. Это решение оказалось для его здоровья роковым. Через полгода Декарт умер от пневмонии.