5.2. Представление модуля нечеткого управления в виде стандартной нейронной сети

Покажем теперь, что модуль нечеткого управления, описанный в разд. 5.1, можно представить в виде стандартной нейронной сети.

С учетом формул (5.10) и (5.12) преобразуем выражение (5.7), описывающее функцию принадлежности нечеткого множества , к форме

. (5.23)

При подстановке базовой зависимости

в выражение (5.23) получим

. (5.24)

Для упрощения будем считать, что ширина функции Гаусса остается постоянной для любого , т.е. . Следовательно, можно записать

. (5.25)

Продолжим преобразования:

. (5.26)

Для упрощения приведенного уравнения можно нормализовать векторы и , т.е. допустить, что их длина равна 1:

и . (5.27)

В этом случае зависимость (5.27) можно преобразовать к виду

. (5.28)

В итоге

, где . (5.29)

При подстановке приведенного выражения в формулу, описывающую операцию дефуззификации (5.8), получим

. (5.30)

Полученное решение представляет собой модификацию уравнения (5.13). Следует подчеркнуть тот факт, что его вывод обусловлен нормализацией векторов и , а также что параметр имеет постоянное значение для любого . Новый подход требует формирования новой структуры. Она показана на рис. 5.18. С учетом принятых допущений практическая реализация этой структуры вызывает большие сомнения, однако она демонстрирует принципиальную возможность представления нечеткой системы в виде нейронной сети. В такой сети выделяются три слоя.

Рис. 5.18. Реализация модифицированного модуля нечеткого управления, заданного выражением (5.30).

Слой 1 (L1). Первый слой возник в результате объединения и модификации первого и второго слоев эталонной структуры (рис. 5.1). В качестве элементов этого слоя выступают классические нейроны с взвешенной суммой входов, поляризацией постоянным числом (bias) и экспоненциальной функцией активации с параметром . В отличие от «обычных» нейронных сетей, как веса, так и параметры этого слоя имеют конкретную интерпретацию: представляет центр функции принадлежности нечеткого множества, соответствующего -й входной переменной в -м правиле, a - ширину этих функций. Каждый нейрон соответствует одному нечеткому правилу.

Слои 2 (L2) и 3 (L3). Легко заметить, что эти слои идентичны слоям L3 и L4 эталонной структуры (рис. 5.1). Они так же реализуют операцию дефуззификации, определенную выражением (5.8). Слой L2 состоит из двух нейронов с линейной функцией активации. Веса связей верхнего нейрона интерпретируются как центры функций принадлежности нечетких множеств . Они модифицируются в процессе обучения. Веса нижнего нейрона остаются постоянными и равны 1.

Представление нечеткой структуры в виде нейронной сети имеет ряд очевидных преимуществ. Она позволяет сохранить важнейшее достоинство нечетких систем - конкретную физическую интерпретацию весов и параметров. С учетом этого можно осмелиться утверждать, что, несмотря на различные исходные условия, нейронные сети и нечеткие системы в определенном смысле равнозначны друг другу. Следует также отметить, что структура, изображенная на рис. 5.18, может рассматриваться и в качестве так называемой вероятностной нейронной сети [15].