5.1.7. Оценивание параметров преобразования

Параметры линейных и нелинейных преобразований (5.2), (5.5), (5.12)  устанавливаются по парам взаимно соответствующих реперных точек, идентифицируемых в процессе поиска (см. далее). После этого каждой точке  эталонного снимка  ставится в соответствие точка  текущего снимка. Будем считать, что точки цифрового изображения (пикселы) представлены на дискретной  решетке с постоянным шагом так,  что их целочисленные координаты имеют вид

.

Коэффициенты  выбирают таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку аппроксимации фактически «наблюдаемых» координат  их полиномиальной оценкой из (5.12) для набора заданных узловых точек  Координаты в плоскости наблюдаемого (текущего, или контролируемого) изображения удобно выразить в виде векторов

,    .

Аналогично коэффициенты полиномов можно представить в векторной форме

,    .

Среднеквадратическую ошибку оценивания можно записать в компактной матричной форме

,                (5.13)

где

.

Оценки наименьших квадратов (минимизирующих среднеквадратическую ошибку ) находятся приравниванием производных квадратичной формы (5.13) по векторам параметров  и  нулю, в результате чего приходим к соотношениям:

 .               (5.14)

Следовательно, искомые оценки имеют вид

,.           (5.15)

При больших значениях  регрессионная матрица , соответствующая (5.12), становится неустойчивой, что приводит к большим ошибкам в определении коэффициентов преобразования. Одним из способов уменьшения этого эффекта является использование полиномов Чебышева. Полиномиальное преобразование (5.12) в этом случае представляется как

                        (5.16)

                        (5.17)

где -попарно ортогональные на заданном множестве точек ортогональные многочлены Чебышева, получаемые из последовательности методом ортогонализации Грама-Шмидта [5.3, гл.20]. Ортогональные многочлены до третьей степени имеют вид

Коэффициенты  снова выбирают таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку аппроксимации фактически «наблюдаемых» координат  их полиномиальной оценкой  из (5.16), (5.17) для набора заданных узловых точек

Пользуясь этой методикой, можно без труда вычислить коэффициенты  по методу наименьших квадратов (аналогично формулам (5.13)-(5.15)), где регрессионная матрица имеет вид

.              (5.18)