§ 6. Движение в потенциальном полеПростое применение наш метод находит в классическом пределе, когда действие
где штрих обозначает дифференцирование по В этом предположении подынтегральное выражение можно представить в виде квадратичной формы от
Главный член в окончательном результате равен Полученный результат справедлив не только в классическом пределе, но и в других случаях. Предположим, например, что потенциал Существуют и другие случаи, когда рассматриваемое приближение оказывается хорошим. Предположим, что полное время движения очень мало. Если частица движется по траектории, сильно отличающейся от классической, то она должна иметь очень большую дополнительную скорость (чтобы за указанный интервал времени пройти расстояние от начальной до конечной точки). Добавочная кинетическая энергия пропорциональна квадрату этой большой скорости, а действие содержит член, грубо говоря, пропорциональный произведению кинетической энергии и интервала времени (т. е. пропорциональный квадрату скорости, умноженному на интервал времени). Действие вдоль таких траекторий будет очень большим, и фазы амплитуд вероятности для близлежащих траекторий будут сильно различаться. В этом случае в разложении потенциала
Задача 3.8. Лагранжиан гармонического осциллятора
Покажите, что соответствующее ядро равно
где
Задача 3.9. Найдите ядро для частицы во внешнем постоянном поле
Результат имеет вид
где Задача 3.10. Лагранжиан для частицы с зарядом
Покажите, что соответствующее ядро имеет вид
где Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой
Покажите, что ядро определяется выражением
где
и Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит свое применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов. Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при
то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что
и найдите распределение вероятности
|