§ 7. Системы с многими переменными
Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ
обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.
В качестве первого примера мы рассмотрим трехмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями
,
и
. В частности, для свободной частицы действие равно
.
Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки
в момент времени
в конечную точку
и момент времени
,
. (3.69)
Дифференциал здесь записан в виде
. Если время разделено на промежутки
, то положение частицы в момент времени
задается тремя переменными
,
,
и интеграл по переменным
,
,
для каждого значения
имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором
в некотором
-мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объема
или
и произведение дифференциалов для каждого
мы можем записать в более общем виде
.)
Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введен нормировочный множитель
[см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделен на
промежутков длительностью
, то в интеграл должен быть включен множитель
.
Еще один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой
, координата которой
, а другая система - частицу массой
и с координатой
. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала
. Действие в этом случае равно
, (3.70)
так что ядро имеет вид
. (3.71)
Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве
. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно
и
. Тогда
является ядром для перехода частицы массы
из пространственно-временной точки
в точку
и частицы массы
из точки
в точку
. Ядро
равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т. е. определенным
и
), равна экспоненте
, где
- действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных
и
, и интеграл берется по обеим этим функциям.