§ 8. Системы с разделяющимися переменными
Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор
- совокупность координат одной частицы, а вектор
- совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трехмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:
, (3.72)
где в
входят только траектории
, а в
- только траектории
. Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.
При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от
, и другого, зависящего только от
:
(3.73)
Ядро
здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой
, и аналогичным образом определяется ядро
. Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.
В случае нескольких частиц волновая функция
определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени
одна частица находится в точке
, другая - в точке
и т. д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке
, другая - в точке
и т. д. Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить:
, (3.74)
где
- произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство
.
Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат
и
, ядро
является произведением двух функций, одна из которых зависит от
и
, а другая же - от
и
. Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция
вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определенный момент времени
является произведением функции от
на функцию от
, т. е.
, то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро
описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция
уже не будет простым произведением.
Если даже в первоначальной системе координат действие
и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные. Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее переменные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом, часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести сложную задачу к ряду более простых.