§ 9. Интеграл по траекториям как функционал

Если задача описывается более чем одной переменной и если разделить эти переменные невозможно, то анализ обычно становится очень трудным. Ниже мы рассмотрим приближенные методы, применяемые в этом случае; сейчас же изложим один очень сильный метод, который иногда удается применить. Рассмотрим ядро, заданное выражением (3.71). Более подробно его можно записать как

.                      (3.75)

Предположим, что мы сначала выполнили интегрирование по траекториям . Результат формально можно записать в виде

,                 (3.76)

где

.               (3.77)

Полученные выражения интерпретируются следующим образом. Интегрирование по всем траекториям, возможным для частицы , дает функционал . Функционал является числом и его величина зависит от вида всей функции. Например, ограниченная кривой площадь  является функционалом этой кривой. Для того чтобы найти эту площадь, необходимо задать функцию (кривую). Функционал мы записываем в виде , чтобы показать, что  зависит от функции . Мы не пишем , поскольку под такой записью можно понимать функцию от функции, т. е. считать, что  зависит только от того, какое значение принимает  в некоторой определенной точке . Это не тот случай. Величина  зависит от вида всей функции , но не зависит непосредственно от .

Функционал, определенный выражением (3.77), представляет собой амплитуду вероятности того, что под воздействием потенциала  из точки  в точку  переходит лишь одна частица . При вычислении этот потенциал берется в предположении, что  фиксировано, в то время как  изменяется. Таким образом, это потенциал для частицы , когда частица  движется вдоль некоторой определенной траектории. Ясно, что амплитуда  зависит от выбора траектории , поэтому мы и записываем ее в виде функционала от . Полную амплитуду мы получим, просуммировав функционал, состоящий из произведения амплитуды  на ядро, отвечающее свободной частице, по всем траекториям .

Таким образом, амплитуда , как и все другие, представляет собой сумму амплитуд по всем возможным альтернативам. В свою очередь каждая из этих амплитуд является произведением двух: одной - отвечающей движению частицы  между заданными конечными точками, когда траектория  фиксирована, и другой - амплитуды вероятности того, что частица  движется именно по этой фиксированной траектории. Конечная сумма по всем альтернативам становится суммой по всем траекториям . Важно четко усвоить эту концепцию, так как она содержит в себе один из фундаментальных принципов квантовой электродинамики, изложение которой займет одну из последующих глав.

Разумеется, применять этот метод бесполезно, если нельзя никак - ни точно, ни приближенно - вычислить интеграл  для каждой из возможных траекторий . Как мы уже видели (см. задачу 3.11), в одном случае, а именно когда  - гармонический осциллятор, он вычисляется точно. Это очень важный в практическом отношении случай. Например, когда поле, с которым взаимодействует частица, квантуется, то оно представляет собой осциллятор.