§ 10. Взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором

Рассмотрим теперь более подробно взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором. Пусть  - это координаты частицы, а  - координаты осциллятора. Соответствующее действие может быть записано как

,               (3.78)

где  - действие для частицы в отсутствие осциллятора. Ранее при обсуждении мы принимали, что это действие соответствует случаю свободной частицы. Однако такое предположение не является необходимым; движение частицы, описываемое координатами , может усложняться благодаря наличию потенциала. Так, например, действие могло бы иметь вид

.                      (3.79)

Второй член в выражении (3.78) отвечает взаимодействию частицы и осциллятора. Заметим, что этот член линеен относительно . То, что мы пренебрегаем зависимостью от , не означает какой-либо утраты общности рассмотрения, поскольку при наличии такого члена от него всегда можно избавиться интегрированием по частям. Коэффициент  назовем коэффициентом связи. Мы уже указывали на его зависимость от , однако он может зависеть также и от других переменных, например от . Поскольку мы рассматриваем общий случай, точный вид этого коэффициента не существен. Последний член в выражении (3.78), очевидно, представляет собой действие для одного лишь осциллятора. Объединив его со вторым членом, мы можем записать функционал (3.77) как

.                      (3.80)

Поскольку речь теперь идет об , ситуация становится подобной случаю возмущаемого гармонического осциллятора. Возмущающая сила есть некоторая определенная функция времени. Таким образом, это тот же самый интеграл по траекториям, который рассмотрен в задаче 3.11, с той лишь разницей, что  заменено на , а начальные и конечные значения координат  - на .

Для иллюстрации мы возьмем (имея в виду упростить выражение) частный случай, когда начальное и конечное значения координат осциллятора равны нулю:  (такое рассмотрение легко обобщается). Тогда, согласно результату задачи 3.11, имеем

                       (3.81)

Следовательно, ядро в данном случае может быть записано как

               (3.82)

В случае произвольных значений ,  выражение для  будет аналогичным, но более сложным.

Этот интеграл по траекториям сложнее любого из тех, с которыми мы до сих пор сталкивались, и продвинуться дальше в его вычислении невозможно до тех пор, пока мы не рассмотрим (в последующих главах) различные приближенные методы. Заметим лишь, что подынтегральное выражение по-прежнему можно записывать как , однако действие  теперь уже не является функцией только переменных ,  и ; оно содержит произведение величин, определяемых в два различных момента времени:  и . Разделение на прошлое и будущее уже невозможно. Обусловлено это тем, что в некоторый предыдущий момент времени частица действует на осциллятор, который в дальнейшем сам воздействует на эту же частицу. Нельзя ввести никакую волновую функцию , выражающую амплитуду вероятности того, что в момент времени  частица находится в заданной точке . Подобной амплитуды было бы недостаточно для предсказания будущего, поскольку для этого нужно знать также, что происходит с осциллятором в любой момент времени .