§ 1. Уравнение Шредингера

Дифференциальная форма соотношений. Причина того, что мы можем перейти к дифференциальному уравнению, заключена в том, что соотношение (4.1) справедливо для любых точек 1, 2 и 3. Например, момент  может отличаться от момента  всего лишь на бесконечно малый интервал . Это позволяет нам связать значение интеграла по траекториям, вычисленное для одного момента, с его значением в другой момент, бесконечно близкий к первому. Таким путем мы можем получить для интеграла некоторое дифференциальное уравнение.

Как было уже показано, понятие волновой функции можно ввести как следствие соотношения (4.1). Более того, мы знаем, что выражение

                (4.2)

описывает волновую функцию в момент времени  через волновую функцию в момент времени . Чтобы получить искомое дифференциальное уравнение, применим это соотношение к специальному случаю, когда время  отличается от времени  всего лишь на бесконечно малую величину . Ядро  пропорционально экспоненциальной функции от действия для интервала времени , выраженного в единицах . Но для малого интервала  действие приближенно равно произведению  на значение лагранжиана в некоторой точке этого интервала. Следовательно, в том же приближении, что и для равенства (2.34), мы можем записать

.                 (4.3)

Применим теперь это выражение к частному случаю одномерного движения частицы под воздействием потенциала , т. е. к случаю, когда . Соотношение (4.3) тогда запишется в виде

.                  (4.4)

В показателе первой экспоненты появляется величина . Ясно, что если  заметно отличается от , то эта величина очень велика и, следовательно, при изменении  экспонента быстро осциллирует. Область осцилляций первого сомножителя дает очень малый вклад в интеграл (вследствие слабого изменения всех других величин). Существенный вклад дают лишь значения , близкие к , когда экспонента изменяется более медленно. На этом основании сделаем подстановку , имея в виду, что заметные вклады в интеграл будут получаться лишь при малых . После подстановки получаем

.                 (4.5)

Фаза первой экспоненты изменяется примерно на радиан, когда  порядка , так что наибольший вклад в интеграл получится в области именно таких значений .

Функцию  мы можем разложить в степенной ряд, причем необходимо удержать лишь члены порядка . Это обеспечивает сохранение членов второго порядка по . Величину  можно заменить на , поскольку возникающие при этом ошибки более высокого порядка малости, чем . Ограничиваясь в левой части соотношения (4.5) первым порядком по , а в правой - первым порядком по  и вторым по , получаем

.              (4.6)

Если в правой части удержать лишь основной член, то получим произведение функции  на интеграл

;                 (4.7)

в левой же части мы имеем только . Для того чтобы обе части равенства (4.6) совпадали в пределе при , стремящемся к нулю, необходимо выбрать  таким образом, чтобы выражение (4.7) равнялось единице. Отсюда следует

,                    (4.8)

что мы видели и ранее [см. формулу (2.21)]. Таким способом величину  можно определять и в более сложных задачах. Значение  должно выбираться так, чтобы равенство (4.6) выполнялось с точностью до членов нулевого порядка по . В противном случае при  предел исходного интеграла по траекториям не будет существовать.

Для вычисления правой части равенства (4.6) мы должны использовать два интеграла:

                        (4.9)

и

.                 (4.10)

Подставив в формулу (4.6) значения, этих интегралов, получим

.               (4.11)

Последнее равенство будет выполняться с точностью до , если функция  удовлетворяет уравнению

.                  (4.12)

Это и есть уравнение Шредингера для нашей задачи о движении частицы в одном измерении. Соответствующие уравнения для более сложных случаев можно составлять так же, как это сделано в рассмотренных ниже задачах.

 

Задача 4.1. Покажите, что для трехмерного движения частицы во внешнем поле с потенциалом  уравнение Шредингера имеет вид

.               (4.13)

Это уравнение, впервые записанное Шредингером в 1925 г., определило центральное направление всего последующего развития квантовой механики.

 

Операторная форма уравнения Шредингера. Все уравнения, получаемые (соответственно различным видам лагранжиана) при решении разных задач, можно для удобства записать в виде

.                      (4.14)

Символ  здесь не является числом, а указывает на операцию, которую необходимо совершить над функцией . Этот символ называется оператором Гамильтона. Например, для уравнения (4.12)

.                (4.15)

Такое операторное соотношение означает, что если под каждый оператор в обеих частях равенства подставить одну и ту же (любую) функцию , то образуется полное уравнение для этой функции. Таким образом, соотношение (4.15) символически утверждает, что уравнение

                       (4.16)

справедливо для любой функции .

 

Задача 4.2. Лагранжиан заряженной частицы в магнитном поле равен

,                      (4.17)

где  - вектор скорости,  - заряд,  - скорость света,  и  - векторный и скалярный потенциалы. Покажите, что соответствующее уравнение Шредингера имеет вид

.              (4.18)

Следовательно, в этом случае гамильтониан равен

.                  (4.19)

 

Задача 4.3. Покажите, что комплексно-сопряженная функция  (которая получается, если в функции  изменить знак всех ) удовлетворяет уравнению

.                   (4.20)

Смысл понятия «оператор» станет яснее из следующих примеров. Например, оператор  означает умножение на , оператор  - умножение на , оператор  (некоторая функция от ) - умножение на , оператор  - частное дифференцирование по  и т. д.

Если  и  являются операторами, то оператор  означает, что мы должны сначала применить оператор  и затем уже оператор , т. е. . Поэтому, например, оператор  означает умножение  на . С другой стороны,  означаем частную производную по  от функции , или . Мы видим, что операторы  и , вообще говоря, не тождественны. Оператор  определим так, чтобы действие  на функцию  давало функцию . Например, предыдущее соотношение можно следующим образом записать в виде уравнения операторов:

.                      (4.21)

Это означает, что соотношение  выполняется для любой функции .

 

Задача 4.4. Покажите, что

              (4.22)

и, следовательно, определенный формулой (4.15) оператор  будет удовлетворять соотношению

.               (4.23)

Такая операторная запись очень широко применяется в общепринятых формулировках квантовой механики.

 

Уравнение Шредингера для ядра. Поскольку ядро , рассматриваемое как функция координат точки 2, представляет собой частный вид волновой функции (а именно волновую функцию частицы, исходящей из точки 1), оно тоже должно удовлетворять уравнению Шредингера. Поэтому в случае, соответствующем равенству (4.15), получаем

 (если ),               (4.24)

а в общем случае имеем для

,                       (4.25)

где оператор  действует только на координаты точки 2.

 

Задача 4.5. Используя соотношение

                    (4.26)

(где  - бесконечно малая величина), покажите, что если , то ядро  удовлетворяет уравнению

,                   (4.27)

где оператор  действует только на координаты точки 1.

Функция , если ее рассматривать как интеграл по траекториям, определена лишь для . Она остается неопределенной, если . Как мы увидим из дальнейшего, очень удобно положить  для  равным нулю [в частности, соотношение (4.2) в этом случае будет справедливо только при ]. Если

 для ,                     (4.28)

уравнение (4.25), очевидно, справедливо также и в области  (что является тривиальным, поскольку ). Однако это уравнение не удовлетворяется в точке , так как функция  при  терпит разрыв.

Задача 4.6. Покажите, что , когда .

Из результата задачи 4.6 мы видим, что дифференцирование ядра  по переменной  дает -функцию времени, умноженную на  - производную от ступенчатой функции. Следовательно, ядро  удовлетворяет уравнению

.                      (4.29)

Вместе с граничным условием (4.28) это уравнение могло бы служить определением функции , если уравнение Шредингера рассматривать в качестве основы квантовой механики. Величина , очевидно, является одной из разновидностей функции Грина для уравнения Шредингера.

 

Сохранение вероятности. Определенный соотношением (4.15) оператор Гамильтона обладает интересным свойством: если  и  - две любые функции, которые обращаются в нуль на бесконечности, то

.                       (4.30)

Такая символическая запись означает следующее. В левой части этого равенства мы должны, взяв функцию , подействовать на нее оператором , получить  и проделать комплексное сопряжение. Полученный результат умножается затем на  и интегрируется по всему пространству. Если же образовать величину , умножить ее на функцию, комплексно-сопряженную , и проинтегрировать в тех же пределах, получится тот же самый результат. Легко проверить, что это будет именно так, если вычислить выражение  (по частям, где это необходимо).

Если в левую часть тождества (4.30) подставить рассмотренный выше оператор (4.15), то получим

           (4.31)

(здесь дважды выполнено интегрирование по частям). Если функции  и  на бесконечности обращаются в нуль, то проинтегрированные члены исчезают и равенство (4.30) доказано. Оператор, обладающий свойством (4.30), называется эрмитовым. Гамильтониан в квантовой механике всегда эрмитов. В более общих случаях, чем рассмотренный выше, интегрирование по одной переменной заменяется интегрированием (или суммированием) по всем переменным системы.

Положив функции  и  равными , получим

,                       (4.32)

и если функция  удовлетворяет волновому уравнению (4.14), то это выражение можно записать как

.                       (4.33)

Отсюда видно, что величина  не зависит от времени. Это легко интерпретировать. Если функция  соответствующим образом нормирована, то  выражает вероятность найти систему в точке , поэтому интеграл от  равен вероятности вообще обнаружить систему в какой-либо точке пространства. Это вероятность вполне достоверного события, и потому она постоянна и равна единице. Конечно, насколько это касается волнового уравнения, функция  может быть умножена на любую постоянную и по-прежнему останется его решением. Квадрат этой константы войдет в произведение , и именно ему будет теперь равняться значение интеграла.

В нашем толковании функции  как амплитуды вероятности равенство интеграла от  константе является совершенно фундаментальным. На языке функций  это означает, что в момент времени  интеграл от квадрата модуля волновой функции имеет ту же самую величину, что и в момент времени , т. е. если

,                 (4.34)

то

,                       (4.35)

или

.             (4.36)

Так как это должно выполняться для любой функции , то

.               (4.37)

Следовательно, для того чтобы можно было интерпретировать функцию  как амплитуду вероятности, необходимо, чтобы ядро  удовлетворяло соотношению (4.37). Мы получили это, исходя из уравнения Шредингера. Было бы приятнее вывести это соотношение и другие свойства, такие, как (4.38) и результат задачи (4.7), прямо на основе определения ядра  как интеграла по траекториям и не переходить к дифференциальному уравнению. Это, конечно, можно сделать, однако в этом случае вывод не будет столь простым и изящным, каким он должен быть для таких важных соотношений. Справедливость (4.37) можно проверить следующим образом: для малого интервала, когда , оно непосредственно следует из выражения . Методом индукции соотношение (4.37) можно далее обобщить для любого интервала. Один из недостатков подхода к квантовой механике, основанного на интегралах по траекториям, состоит в том, что соотношения, включающие такие сопряженные величины, как  или , не очевидны сами по себе.

Умножая обе части выражения (4.37) на функцию  и интегрируя по переменной , можно показать, что для

.                   (4.38)

Сравним это с равенством

,

где . Последнее равенство мы можем истолковать следующим образом: если за исходную взята точка , то  дает нам амплитуду вероятности для более позднего момента времени . Если мы хотим перейти к еще более позднему моменту времени , то это можно сделать, используя ядро . С другой стороны, если, зная амплитуду в момент времени , мы захотим вернуться назад, чтобы определить ее в более ранний момент времени , то это можно сделать, используя ядро  в соответствии с равенством (4.38). Следовательно, можно сказать, что действие сопряженного ядра  компенсирует действие ядра .

Задача 4.7. Покажите, что если , то левая часть равенства (4.38) равна .