§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времени

Стационарные состояния с определенной энергией. Специальный случай, когда гамильтониан  оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие , не зависящее явным образом от времени  (например, когда потенциалы  и  не содержат время ). В таком случае ядро зависит не от переменной времени , а будет функцией лишь интервала . Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.

Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шредингера (4.14) в виде , т. е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) дает соотношение

,                      (4.39)

или

.                     (4.40)

Левая часть этого уравнения не зависит от , тогда как правая не содержит зависимости от . Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых  и , обе его части не должны зависеть от этих переменных, т. е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через . Тогда

,

или

с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

,                      (4.41)

где функция  удовлетворяет уравнению

,                  (4.42)

а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определенной частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определенной энергией . Каждому значению энергии  соответствует своя особая функция  - частное решение уравнения (4.42).

Вероятность того, что частица находится в точке , задается квадратом модуля волновой функции , т. е. . В силу равенства (4.41) эта вероятность равна  и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии - стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.

Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределенности, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна , время должно быть полностью неопределенным. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определенном состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.

Пусть  - значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение , и  - другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению . Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шредингера, а именно:

 и ;              (4.43)

так как уравнение Шредингера линейно, то ясно, что наряду с  его решением будет и . Кроме того, если  и  - два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция

                    (4.44)

тоже будет решением уравнения Шредингера.

Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии  и найдены соответствующие им функции , то любое решение  уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определенным значениям энергии.

Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях  и . Поэтому, используя для функции  выражение (4.44) получаем

                      (4.45)

Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т. е. члены, содержащие экспоненты ) должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов  и . Это означает, что

.                (4.46)

Если две функции  и  удовлетворяют соотношению

,

то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.

Ниже будет дана интерпретация выражений типа , и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию  [и, следовательно, ее волновая функция ], то вероятность обнаружить у нее другое значение энергии  [т. е. волновую функцию ] должна равняться нулю.

 

Задача 4.8. Покажите, что когда оператор  эрмитов, то собственное значение  вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) ].

Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор  эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите , ].

 

Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней , не только ортогональны, но также и нормированы, т. е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям  равен единице:

,                  (4.47)

где  - символ Кронекера, определяемый равенствами , если , и . Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шредингера:

.              (4.48)

Коэффициенты  легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряженные функции  и интегрируя по , получаем

                       (4.49)

и, следовательно,

.                      (4.50)

Таким образом мы получили тождество

.                      (4.51)

Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения -функции:

.              (4.52)

Ядро  можно выразить через функции  и значения энергии . Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени , если она нам известна в момент времени . Так как она является решением уравнения Шредингера, то при любом  ее, как и всякое его решение, можно записать в виде

.                      (4.53)

Но в момент времени

,                     (4.54)

поскольку мы всегда можем представить  в виде ряда (4.48). Отсюда следует, что

.                    (4.55)

Подставив это в выражение (4.53), будем иметь

.                      (4.56)

Используя теперь для коэффициентов  выражение (4.50), получаем

                     (4.57)

Эта формула выражает волновую функцию в момент времени  через волновую функцию , относящуюся к моменту времени . Ранее мы выражали это соотношением

.             (4.58)

Сравнивая его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра :

               (4.59)

 

Задача 4.10. Проверьте, что ядро , определенное соотношением (4.59), удовлетворяет уравнению Шредингера.

Представление ядра  в виде (4.59) оказывается очень полезным при переходе к более привычным изложениям квантовой механики. Ядро, определенное ранее как интеграл по траекториям, выражено здесь лишь через решения дифференциального уравнения (4.42).

Задача 4.11. Покажите, что в трехмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц

              (4.60)

соответствуют энергии . Докажите свойство ортогональности, рассматривая в качестве индекса  вектор , т. е. докажите, что для

 даже если .                        (4.61)

В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение

.                   (4.62)

Так как векторы  составляют континуум, сумма по «индексам»  фактически эквивалентна интегралу по всем значениям , т. е.

.                     (4.63)

Ядро для случая свободной частицы запишется как

.                     (4.64)

Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т. е. представляет собой трехмерное обобщение выражения (3.3)].