§ 1. Ряд теории возмущений

Члены ряда. Предположим, что частица движется под действием потенциала . Ограничимся пока одномерным движением. Тогда ядро, соответствующее переходу между точками  и , будет иметь вид

.                       (6.1)

Индекс  в обозначении  отражает тот факт, что на частицу действует потенциал . Отсюда обозначение  будет относиться к ядру, описывающему движение свободной частицы.

В некоторых случаях ядро  может быть определено с помощью уже изученных методов. Например, в гл. 3 мы вычислили ядро для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила . Потенциал в этом случае имеет вид

                  (6.2)

[см. лагранжиан (3.65) ]. В общем случае, когда потенциал квадратичен по переменной , ядро может быть вычислено точно; наряду с этим при достаточно медленном изменении потенциала оказывается хорошо применимым квазиклассическое приближение. Известны также некоторые другие типы потенциалов, которые удобно рассматривать с помощью уравнения Шредингера. Теперь обратимся к изучению самих разложений, которые часто оказываются полезными при малых возмущающих потенциалах.

Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной  интеграл по времени от потенциала вдоль траектории. Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от , может быть разложена в ряд

,                 (6.3)

который определен для некоторой частной траектории . Подставляя это разложение в (6.1), получаем

,              (6.4)

где

,                  (6.5)

,                   (6.6)

                (6.7)

и т.д.

Чтобы не перепутать временные переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через ,  и т. п.

 

Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро . Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной  и по траектории . Запишем

,               (6.8)

где

.                (6.9)

Интеграл по траектории  имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала , вычисленного в момент времени . Единственная характеристика траектории , от которой зависит потенциал , - это положение траектории в некоторый момент времени . Другими словами, до и после этого момента  содержащаяся в функционале  траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.

Фиг. 6.1. Движение с одним рассеянием.

Частица выходит из точки  и двигается как свободная до точки . Здесь на нее действует потенциал , происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки . Амплитуда, описывающая такое движение, дается выражением (6.10). Если эту амплитуду проинтегрировать по всем возможным положениям точки , то получим член первого порядка теории возмущений.

Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту , и часть, которая соответствует более позднему времени.

Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку  именно в этот момент времени . Далее мы проинтегрируем по всем значениям . Если точку  обозначить через  (т. е. положить ), то сумму по всем таким траекториям можно записать как . Это означает, что функционал  можно представить в виде

.              (6.10)

Подстановка этого выражения в соотношение (6.8) дает

,                        (6.11)

где .

Пределы интегрирования по  здесь положены равными . В практических задачах эти пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях , или свойствами примененных установок, которые ограничивают область изменения .

 

Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специально остановимся на его интерпретации. Назовем процесс взаимодействия между потенциальным полем и частицей рассеянием, так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единицу объема и единицу времени равна .

Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро  следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки  в точку . Эти возможности следующие:

1) частица может вообще не рассеяться ,

2) частица может рассеяться один раз ,

3) частица может рассеяться дважды  и т. д.

В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображены различные траектории частицы.

Фиг. 6.2. Различные случаи рассеяния.

В случае 1 частица под действием потенциала  движется от точки  до точки , не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой . В случае 2 частица в своем движении под действием потенциала  испытывает один акт рассеяния в точке . Этому соответствует амплитуда . В случае 3 частица рассеивается дважды [амплитуда ], а в случае 4 -  раз, причем последнее рассеяние происходит в точке . Полная амплитуда, описывающая движение частицы из точки  в точку  при любом числе рассеяний, является суммой .

Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив. Рассмотрим, например, ядро , описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки , движется свободно до точки  , где она рассеивается на потенциале , после чего снова движется как свободная частица из точки  до конечной точки . Амплитуда, соответствующая такой траектории, равна

.                        (6.12)

(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договоренности, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т. е. справа налево.)

Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра  получается сложением всех таких альтернатив, т. е. интегрированием по переменным  и .

С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро  для двухкратного рассеяния в виде

,                 (6.13)

где . Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки  до точки  и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен . Затем частица снова движется свободно от точки  до точки , где она рассеивается на потенциале . После чего частица движется от точки  к точке  опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т. е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.

Здесь мы молчаливо предполагали, что . Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом примере, будем пользоваться условием, введенным ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что

 для .                    (6.14)

Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным  и . Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом 1/2, который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной  по-прежнему заключена в пределах от  до . Однако область интегрирования по переменной  ограничена тем, что точка  обязана теперь находиться между точками  и  вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно наполовину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде

                 (6.15)

Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как

.                (6.16)

Если в этом выражении поменять местами переменные  и , то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра  получается коэффициент !

 

Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма , где  мало по сравнению с . Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал  может быть квадратичным по переменной  и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала  описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро  заменить ядром , соответствующим движению только лишь под действием потенциала . Таким образом,  можно рассматривать как возмущение потенциала . Можно сказать, что  представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчете на единицу объема и на единицу времени). Ядро  - амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущенного потенциала .

Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом , где  - координата первой, а  - координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.

Если потенциал равен нулю, то  - просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины . Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?