§ 1. Ряд теории возмущений
Члены ряда. Предположим, что частица движется под действием потенциала
. Ограничимся пока одномерным движением. Тогда ядро, соответствующее переходу между точками
и
, будет иметь вид
. (6.1)
Индекс
в обозначении
отражает тот факт, что на частицу действует потенциал
. Отсюда обозначение
будет относиться к ядру, описывающему движение свободной частицы.
В некоторых случаях ядро
может быть определено с помощью уже изученных методов. Например, в гл. 3 мы вычислили ядро для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила
. Потенциал в этом случае имеет вид
(6.2)
[см. лагранжиан (3.65) ]. В общем случае, когда потенциал квадратичен по переменной
, ядро может быть вычислено точно; наряду с этим при достаточно медленном изменении потенциала оказывается хорошо применимым квазиклассическое приближение. Известны также некоторые другие типы потенциалов, которые удобно рассматривать с помощью уравнения Шредингера. Теперь обратимся к изучению самих разложений, которые часто оказываются полезными при малых возмущающих потенциалах.
Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной
интеграл по времени от потенциала вдоль траектории. Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от
, может быть разложена в ряд
, (6.3)
который определен для некоторой частной траектории
. Подставляя это разложение в (6.1), получаем
, (6.4)
где
, (6.5)
, (6.6)
(6.7)
и т.д.
Чтобы не перепутать временные переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через
,
и т. п.
Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро
. Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной
и по траектории
. Запишем
, (6.8)
где
. (6.9)
Интеграл по траектории
имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала
, вычисленного в момент времени
. Единственная характеристика траектории
, от которой зависит потенциал
, - это положение траектории в некоторый момент времени
. Другими словами, до и после этого момента
содержащаяся в функционале
траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.

Фиг. 6.1. Движение с одним рассеянием.
Частица выходит из точки
и двигается как свободная до точки
. Здесь на нее действует потенциал
, происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки
. Амплитуда, описывающая такое движение, дается выражением (6.10). Если эту амплитуду проинтегрировать по всем возможным положениям точки
, то получим член первого порядка теории возмущений.
Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту
, и часть, которая соответствует более позднему времени.
Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку
именно в этот момент времени
. Далее мы проинтегрируем по всем значениям
. Если точку
обозначить через
(т. е. положить
), то сумму по всем таким траекториям можно записать как
. Это означает, что функционал
можно представить в виде
. (6.10)
Подстановка этого выражения в соотношение (6.8) дает
, (6.11)
где
.
Пределы интегрирования по
здесь положены равными
. В практических задачах эти пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях
, или свойствами примененных установок, которые ограничивают область изменения
.
Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специально остановимся на его интерпретации. Назовем процесс взаимодействия между потенциальным полем и частицей рассеянием, так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единицу объема и единицу времени равна
.
Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро
следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки
в точку
. Эти возможности следующие:
1) частица может вообще не рассеяться
,
2) частица может рассеяться один раз
,
3) частица может рассеяться дважды
и т. д.
В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображены различные траектории частицы.

Фиг. 6.2. Различные случаи рассеяния.
В случае 1 частица под действием потенциала
движется от точки
до точки
, не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой
. В случае 2 частица в своем движении под действием потенциала
испытывает один акт рассеяния в точке
. Этому соответствует амплитуда
. В случае 3 частица рассеивается дважды [амплитуда
], а в случае 4 -
раз, причем последнее рассеяние происходит в точке
. Полная амплитуда, описывающая движение частицы из точки
в точку
при любом числе рассеяний, является суммой
.
Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив. Рассмотрим, например, ядро
, описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки
, движется свободно до точки
, где она рассеивается на потенциале
, после чего снова движется как свободная частица из точки
до конечной точки
. Амплитуда, соответствующая такой траектории, равна
. (6.12)
(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договоренности, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т. е. справа налево.)
Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра
получается сложением всех таких альтернатив, т. е. интегрированием по переменным
и
.
С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро
для двухкратного рассеяния в виде
, (6.13)
где
. Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки
до точки
и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен
. Затем частица снова движется свободно от точки
до точки
, где она рассеивается на потенциале
. После чего частица движется от точки
к точке
опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т. е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.
Здесь мы молчаливо предполагали, что
. Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом примере, будем пользоваться условием, введенным ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что
для
. (6.14)
Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным
и
. Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом 1/2, который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной
по-прежнему заключена в пределах от
до
. Однако область интегрирования по переменной
ограничена тем, что точка
обязана теперь находиться между точками
и
вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно наполовину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде
(6.15)
Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как
. (6.16)
Если в этом выражении поменять местами переменные
и
, то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра
получается коэффициент
!
Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма
, где
мало по сравнению с
. Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал
может быть квадратичным по переменной
и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала
описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро
заменить ядром
, соответствующим движению только лишь под действием потенциала
. Таким образом,
можно рассматривать как возмущение потенциала
. Можно сказать, что
представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчете на единицу объема и на единицу времени). Ядро
- амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущенного потенциала
.
Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом
, где
- координата первой, а
- координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.
Если потенциал равен нулю, то
- просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины
. Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?