§ 2. Интегральное уравнение для ядра 
Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к изучению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде
(6.17)
Это выражение можно представить и в другом виде:
(6.18)
Выражение в скобках имеет такой же вид, как и правая часть соотношения (6.17); суммирование в обоих случаях производится по бесконечному числу членов. Это означает, что ядро
можно записать как
, (6.19)
что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро
, в случае, когда известно ядро
(заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6.1, ядро
нужно заменить на
). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения.
Физически этот результат можно интерпретировать следующим образом. Полная амплитуда перехода системы из точки
в точку
посредством любого числа актов рассеяния может быть представлена как сумма двух амплитуд. Первая из них - амплитуда вероятности того, что движение частицы происходит без рассеяния (ядро
). Вторая - амплитуда перехода, происходящего с одним или большим числом рассеяний. Эта амплитуда выражается последним членом соотношения (6.19). Точка
здесь может мыслиться как точка, в которой происходит последнее рассеяние. Таким образом, система движется от точки
до точки
в потенциальном поле, и это ее движение точно описывается ядром
. Затем в точке
происходит последнее рассеяние, после чего система совершает переход как свободная (без рассеяний) в точку
. Эта часть движения описывается ядром
. Все сказанное выше иллюстрируется фиг. 6.3.

Фиг. 6.3. Общий случай.
В случае 1 частица, на которую действует потенциал
, движется от точки
до точки
как свободная; это описывается амплитудой
. В случае 2 частица рассеивается на потенциале
один или большее число раз, причем последнее рассеяние происходит в точке
. Движение из точки
в точку
описывается ядром
, а из точки
в точку
- ядром
. Комбинация этих двух случаев, в которой учтены все положения точки
, охватывает все возможности и дает для
уравнение (6.19).
Последнее рассеяние может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками
и
, поэтому амплитуда для сложного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки
.
Задача 6.3. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему:
. (6.20)
Используя это уравнение и уравнение (6.19), покажите, что ядро
удовлетворяет дифференциальному уравнению
. (6.21)