§ 3. Разложение волновой функции

В § 4 гл. 3 мы ввели понятие волновой функции и рассмотрели некоторые соотношения, связывающие волновые функции и ядра. Соотношение (3.42) показывает, каким образом с помощью ядра, описывающего движение системы в промежутке между двумя моментами времени  и , можно получить волновую функцию для момента , если известна волновая функция для более раннего момента времени .

Здесь это уравнение нам будет удобно записать в виде

,             (6.22)

где  - значение волновой функции в момент времени  [т. е.  - функция точки ],  - волновая функция для более позднего момента времени . Мы предполагаем также, что в промежутке между этими двумя моментами времени система движется в потенциальном поле , где ее движение описывается ядром .

Если разложенное в ряд ядро  [см. формулу (6.18)] подставить в соотношение (6.22), то мы получим разложение в ряд функции . Таким образом,

.                    (6.23)

Первый член этого разложения дает волновую функцию для момента времени  в предположении, что между  и  система остается свободной (или невозмущенной, в последнем случае ядро  нужно заменить ядром ). Обозначим этот член через

.              (6.24)

Используя это определение, ряд (6.23) можно переписать теперь как

                   (6.25)

Записанный в таком виде ряд теории возмущений называется борновским разложением функции . Если ограничиться только первыми двумя членами (т. е. учесть лишь первый порядок разложения по ), то получим первое борновское приближение. Оно соответствует единичному рассеянию на потенциале . Это рассеяние происходит в точке . До этой точки движение системы является свободным и описывается функцией , после рассеяния система снова движется как свободная от точки  до точки  и описывается ядром . Интеграл должен быть взят по всем возможным точкам, в которых происходит рассеяние. Когда используются три члена ряда (т. е. учитывается второй порядок по ), результат называется вторым борновским приближением и т. д.

 

Задача 6.4. Используя соображения, подобные тем, что привели нас к уравнению (6.19), покажите, что волновая функция  удовлетворяет интегральному уравнению

.             (6.26)

Это интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шредингера

.             (6.27)

Ограничившись одномерным случаем, покажите, как получить уравнение Шредингера из интегрального уравнения (6.27).