§ 5. Матричные элементы перехода и операторные обозначения

В этом и следующем параграфах покажем, как матричные элементы перехода выражаются в обозначениях, общепринятых для волновых функций и операторов. Это поможет тому читателю, который ранее встречался с другой формой записи, выразить результаты вычислений интегралов по траекториям в более привычном для себя виде.

Если функция  зависит только от переменной  и одного момента времени  [иными словами, если функция  совпадает с функцией , взятой в момент времени ], то из соотношения (7.10) мы знаем, как в этом случае оценить элемент перехода. Подобным же образом [из выражения (7.15)] можно получить оценку для матричного элемента перехода, если функция  зависит от одной координаты  и двух различных моментов.

Пусть функция  является некоторым импульсом, рассматриваемым в момент времени . Воспользуемся уже известным нам приближением и разобьем ось времени на отрезки длины ; тогда

                  (7.72)

и, следовательно,

.                 (7.73)

Правую часть выражения (7.73) можно записать в виде

.               (7.74)

Воспользуемся теперь волновым уравнением. Из задачи 4.3 (гамильтониан  соответствует действию ) следует, что

,               (7.75)

,                 (7.76)

Тогда в первом приближении по  имеем

                   (7.77)

С помощью соотношения (4.30) последний интеграл можно записать как ; упрощая, запишем в операторном виде

.                    (7.78)

Это ничем не отличается от соотношения

,                       (7.79)

где мы применили результат задачи 4.4. Оператор  обычно называется оператором импульса, или, точнее, оператором, представляющим -компоненту импульса. Структура матричного элемента перехода для величины  соответствует постановке оператора  между функциями  и ; аналогично в матричном элементе перехода для величины  мы помещаем  между теми же функциями. Эти соотношения можно понять глубже, если перейти к импульсному представлению. Пусть

               (7.80)

являются импульсным представлением функций  и ; тогда можно показать, что

.                      (7.81)

Задача 7.11. Докажите соотношение (7.81).

Есть и другой путь к пониманию этого соотношения. Рассмотрим амплитуду вероятности перехода, определяемую выражением

.             (7.82)

Предположим далее, что вся ось  смещена вправо на малый отрезок . Обозначив новую координату , имеем

.                 (7.83)

Заменив старые переменные  на новые, мы не изменим амплитуду перехода, определяемую соотношением (7.82):

              (7.84)

где интеграл по траекториям явно выражен при помощи методики, применявшейся ранее в соотношении (2.22).

Разложим теперь функции  и  в ряд Тейлора, где сохраним лишь члены первого порядка. Тогда подынтегральная экспонента сведется к выражению

.                 (7.85)

В интеграле, определяющем амплитуду перехода, можно опустить штрих, поскольку  - переменная интегрирования. Тогда соотношение (7.84) примет вид

                 (7.86)

где мы предположили, что точка  находится на траектории  и отстоит на интервал  от точки , т. е. что .

Первый член в правой части соотношения (7.86) совпадает с амплитудой вероятности перехода в левой части. Это значит, что второй член равен нулю; но он представляет собой комбинацию двух матричных элементов перехода. Поэтому

.                     (7.87)

В согласии с выражением (2.22) мы применили здесь классическое действие вдоль каждого участка траектории. Поэтому функция , появляющаяся в соотношении (7.87), является классической функцией действия для начала траектории. Ее производная по  (взятая с обратным знаком) равна классическому значению импульса от . Следовательно, можно написать

,                  (7.88)

что совпадает с результатом, полученным в соотношениях (7.78) и (7.79).

В случае усложнения функции действия , что может произойти, если частично исключить взаимодействие, надо ввести функционал , соответствующий импульсу в момент времени . В § 4 было дано общее определение этого функционала. Вариация амплитуды перехода  (в первом приближении, когда все координаты, соответствующие предшествующим моментам , смещены на ) равна произведению этого сдвига  на матричный элемент . Отсюда для сколь угодно сложной функции  можно найти функционал от импульса. Аналогично может быть определен гамильтониан (и функционал от энергии), если ввести подобный сдвиг в переменные времени, как это делалось в § 7 гл. 7.

Задача 7.12. Покажите, что если некоторая функция  зависит только от пространственных координат, то

.             (7.89)

Рассмотрите случай, когда  является также функцией времени. Покажите, что матричный элемент перехода для производной  совпадает с матричным элементом для оператора .

Задача 7.13. Покажите, что

,                      (7.90)

а также, что для любой величины  (записанной через операторы или любым другим способом) производная  равна

.

Если рассмотреть выражение для функции , зависящей от двух последовательных очень близких значений координат:

,             (7.91)

то, очевидно, получим

     (7.92)

где . Выше, выводя соотношение (4.12) из (4.2), мы получили

.                   (7.93)

Поэтому первый интеграл в выражении (7.92) равен

.              (7.94)

Выразив функцию  при помощи соотношения (7.76) и использовав эрмитовость гамильтониана , преобразуем рассматриваемый интеграл к виду

             (7.95)

Тогда окончательно имеем

.    (7.96)

Для последнего преобразования здесь применялось соотношение (7.78).

Мы рассмотрели пример использования общего правила. В интеграле, который определяет матричный элемент перехода для системы величин, зависящих от последовательных моментов времени, соответствующие операторы размещаются справа налево в том же порядке, как расположены во времени исходные матричные элементы перехода. Если интервал времени конечен и равен , то в элемент перехода надо включить ядро , соответствующее этому отрезку времени (см., например, задачу 7.16). Когда расстояние  между двумя соседними точками стремится к нулю, ядро  приближается к -функции, откуда и следует указанное выше правило.

Задача 7.14. Покажите, что амплитуда вероятности перехода для величины  совпадает с амплитудой для .

Задача 7.15. Покажите, что указанное выше правило выполняется для двух последовательных импульсов, т. е.

   (7.97)

Задача 7.16. Покажите, что

,                      (7.98)

если  и  при . Что будет, если ?

Заметим, что  соответствует произведению  (произведению двух последовательных значений импульса, подобно тому как это было в задаче 7.15), что не равно простому квадрату импульса , взятого в один определенный момент времени. Последнее выражение при  неограниченно возрастает как , что очевидно из соотношения (7.49). Разность между выражением  и левой частью уравнения (7.97) в пределе составляет как раз , т. е.

.               (7.99)

Задача 7.17. Докажите это соотношение, применяя формулу (7.40) и полагая

.