§ 6. Разложение по возмущениям для векторного потенциала
Сингулярность в матричном элементе перехода для квадрата скорости, выражаемая равенством (7.49), заставляет нас весьма осторожно рассматривать многие соотношения, содержащие скорости. Запишем, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, так:
. (7.100)
Пусть потенциал
равен нулю; мы учтем лишь векторный потенциал
, рассматривая его как малое возмущение. Обозначив
,
запишем разложение в ряд теории возмущений и введем соответствующие матричные элементы перехода:
. (7.101)
Член первого порядка равен величине
, умноженной на выражение
. (7.102)
Нам удобнее переписать это в операторных обозначениях. При определении возмущения
для дискретно заданной траектории (шаг определяется временном интервалом
) можно было бы записать
, (7.103)
или же
. (7.104)
В обоих случаях, переходя к пределу непрерывной траектории, получим отсюда интеграл для
. Однако если мы будем рассматривать только одну из компонент вектора
(например,
), то обнаружим, что компонента
отличается от
приблизительно на величину
, (7.105)
которая после умножения снова на
должна бы быть поправкой второго порядка для каждого значения
, а после суммирования по всем
- поправкой лишь порядка
. Однако наши траектории не являются непрерывными и матричный элемент перехода для квадрата среднего значения разности
будет величиной первого порядка малости. Действительно (см. задачу 7.6),
,
,
и т. д.
с точностью до членов первого порядка по
. Следовательно, выражения (7.103) и (7.104) различаются приблизительно на
, (7.106)
т. е. на величину нулевого порядка. Отсюда можно заключить, какая же форма выражения для
будет правильной.
Общий ответ на подобный вопрос излагался в гл. 2, где было сформулировано правило для замены действия
суммой вида
, содержащей классическое действие
для перехода между двумя соседними точками. Нет необходимости вычислять действие
точно, для этого достаточно приближения, исключающего описанную выше двузначность. С этой точки зрения выражения (7.103) и (7.104) не вполне удовлетворительны, классическая же функция действия для короткого промежутка времени будет очень близка к
. (7.107)
Теперь понятно, что правильное выражение для возмущения
равно среднему от выражений (7.103) и (7.104) и матричный элемент перехода в (7.99) равен
. (7.108)
Сумму по
вычислим в дальнейшем как некий интеграл по времени, а пока запишем полученный результат в виде оператора
(см. задачу 7.12).
Для электромагнитного потенциала член первого порядка в разложении по возмущениям имеет тот же самый вид, что и член первого порядка в соотношении (6.11), лишь потенциал
заменяется оператором
.
Во втором приближении это уже неверно. Здесь необходимо вычислить
(7.109)
Если
, то ничего не меняется и мы получим член второго порядка, который можно было бы найти из сравнения с соотношением (6.13), подставив вместо потенциала
оператор
. Но если
, то произведение двух скоростей, взятых в последовательные моменты, даст нам новый член. Учитывая выражение (7.49) и результат задачи 7.6, получим дополнительно
, (7.110)
что эквивалентно интегралу
и приводит к тому же результату, что и член нулевого порядка функции действия для потенциала
.
Таким образом, разложение по возмущениям для действия, зависящего от вектора-потенциала
, имеет тот же вид, что и разложение (6.17), только потенциал
здесь заменен оператором
. Мы показали это с точностью до членов второго порядка по
; путем небольшого дополнительного рассмотрения можно показать, что все это верно в любом приближении.
Гамильтониан для частицы в поле с вектором-потенциалом
можно записать в виде
. (7.111)
Это выражение отличается от аналогичного выражения для свободной частицы
тем, что здесь стоит оператор
. Такая запись позволяет гораздо проще получить те результаты, которые мы до сих пор выводили непосредственными преобразованиями.